ID: 00017528
На шероховатой горизонтальной плоскости находится грузик, привязанный невесомой нерастяжимой тонкой нитью длиной $r = 50$ см к гвоздику, вбитому в плоскость. Коэффициент трения грузика о плоскость равен $\mu = 0{,}15$. Нить натягивают и грузику толчком в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити, сообщают скорость $V = 3$ м/с (см. рис.). На какой угол $\varphi$ повернётся нить к моменту остановки грузика?
Источник: ФИПИ
$r = 0{,}5$ м, $\mu = 0{,}15$, $V = 3$ м/с, $g = 10$ м/с$^2$. Найти угол поворота $\varphi$.
Грузик лежит на горизонтальном столе и привязан нитью к гвоздику в центре. Ему дали толчок вбок (перпендикулярно нити, стрелка $\vec V$ на рисунке), и он побежал по окружности радиуса $r$. Нить всё время натянута и тянет грузик к центру — это центростремительная сила, которая поворачивает скорость, но саму скорость по величине не меняет (нить перпендикулярна движению, работы не совершает). А вот стол шершавый: сила трения направлена против движения, по касательной к окружности, и потихоньку «съедает» скорость, пока грузик не остановится.
Тормозит только трение. На горизонтальной плоскости грузик не прижат ничем сверху, значит нормальная реакция равна весу: $N = mg$, а сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg$. Эта сила направлена вдоль пути, поэтому её работа сразу даёт «съеденную» энергию.
Путь грузика — это дуга окружности. Если нить повернулась на угол $\varphi$ (в радианах), то пройденный путь $s = r\varphi$.
Теорема о кинетической энергии: вся начальная кинетическая энергия уходит на работу трения (нить работы не делает, тормозит только трение):
$$\dfrac{mV^2}{2} = \mu mg \cdot r\varphi.$$
Масса сокращается — ответ от неё не зависит:
$$\varphi = \dfrac{V^2}{2\,\mu g\, r}.$$
$$\varphi = \dfrac{3^2}{2 \cdot 0{,}15 \cdot 10 \cdot 0{,}5} = \dfrac{9}{1{,}5} = 6{,}0 \text{ рад}.$$
Переводим в градусы: $6{,}0 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 344^\circ$ (то есть почти полный оборот).