ID: 00017528
На шероховатой горизонтальной плоскости находится грузик, привязанный невесомой нерастяжимой тонкой нитью длиной r = 50 см к гвоздику, вбитому в плоскость. Коэффициент трения грузика о плоскость равен \mu = 0{,}15. Нить натягивают и грузику толчком в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити, сообщают скорость V = 3 м/с (см. рис.). На какой угол \varphi повернётся нить к моменту остановки грузика?
Источник: ФИПИ
r = 0{,}5 м, \mu = 0{,}15, V = 3 м/с, g = 10 м/с^2. Найти угол поворота \varphi.
Грузик лежит на горизонтальном столе и привязан нитью к гвоздику в центре. Ему дали толчок вбок (перпендикулярно нити, стрелка \vec V на рисунке), и он побежал по окружности радиуса r. Нить всё время натянута и тянет грузик к центру — это центростремительная сила, которая поворачивает скорость, но саму скорость по величине не меняет (нить перпендикулярна движению, работы не совершает). А вот стол шершавый: сила трения направлена против движения, по касательной к окружности, и потихоньку «съедает» скорость, пока грузик не остановится.
Тормозит только трение. На горизонтальной плоскости грузик не прижат ничем сверху, значит нормальная реакция равна весу: N = mg, а сила трения F_{тр} = \mu N = \mu mg. Эта сила направлена вдоль пути, поэтому её работа сразу даёт «съеденную» энергию.
Путь грузика — это дуга окружности. Если нить повернулась на угол \varphi (в радианах), то пройденный путь s = r\varphi.
Теорема о кинетической энергии: вся начальная кинетическая энергия уходит на работу трения (нить работы не делает, тормозит только трение):
\dfrac{mV^2}{2} = \mu mg \cdot r\varphi.
Масса сокращается — ответ от неё не зависит:
\varphi = \dfrac{V^2}{2\,\mu g\, r}.
\varphi = \dfrac{3^2}{2 \cdot 0{,}15 \cdot 10 \cdot 0{,}5} = \dfrac{9}{1{,}5} = 6{,}0 \text{ рад}.
Переводим в градусы: 6{,}0 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 344^\circ (то есть почти полный оборот).
Ответ: \varphi \approx 6{,}0 рад \approx 344^\circ.