ID: 00017526
Конический маятник представляет собой маленький грузик массой $m = 100$ г, вращающийся с угловой скоростью $\omega_1$ вокруг вертикальной оси на невесомой нерастяжимой нити длиной $l$, составляющей с этой осью угол $\alpha_1 = 60^\circ$ (см. рисунок). Когда угловую скорость вращения маятника увеличили в два раза, нить порвалась. Во сколько раз $n$ сила натяжения нити при обрыве превышала действующую на грузик силу тяжести?
Источник: ФИПИ
$m = 100$ г $= 0{,}1$ кг
$\alpha_1 = 60^\circ$
$\omega_2 = 2\omega_1$ (угловую скорость удвоили)
Найти: $n = \dfrac{T_2}{mg}$ — во сколько раз натяжение при обрыве больше силы тяжести.
На рисунке тот же конический маятник: грузик бегает по горизонтальному кругу, нить очерчивает конус. Силы две — тяжесть $mg$ вниз и натяжение $T$ вдоль нити. Грузик летит по кругу, значит сумма этих сил даёт центростремительную силу, направленную к центру (горизонтально).
Разложим натяжение: вертикальная часть держит вес, горизонтальная разгоняет грузик по кругу. Из этих двух уравнений и вытянем ответ.
Вертикаль (по вертикали ускорения нет): $T\cos\alpha = mg$.
Горизонталь (второй закон Ньютона, $a = \omega^2 r$, $r = l\sin\alpha$): $T\sin\alpha = m\omega^2 l\sin\alpha$, откуда $T = m\omega^2 l$.
Сразу видно главное: натяжение $T = m\omega^2 l$ — оно растёт как квадрат угловой скорости. Поэтому если $\omega$ удвоить, то $T$ вырастет в $2^2 = 4$ раза. Это и есть ключ.
Начало: по вертикали $T_1\cos 60^\circ = mg$, значит $T_1 = \dfrac{mg}{0{,}5} = 2mg$.
То есть в начале натяжение уже вдвое больше веса.
После удвоения скорости ($\omega_2 = 2\omega_1$):
$\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{m\omega_2^2 l}{m\omega_1^2 l} = \left(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2 = 2^2 = 4$.
Поэтому $T_2 = 4 T_1 = 4 \cdot 2mg = 8mg$.
Значит, в момент обрыва натяжение превышало силу тяжести в
$n = \dfrac{T_2}{mg} = 8$ раз.
$n = 8$