Дано

m = 100 г = 0{,}1 кг
\alpha_1 = 60^\circ
\omega_2 = 2\omega_1 (угловую скорость удвоили)

Найти: n = \dfrac{T_2}{mg} — во сколько раз натяжение при обрыве больше силы тяжести.

Идея

На рисунке тот же конический маятник: грузик бегает по горизонтальному кругу, нить очерчивает конус. Силы две — тяжесть mg вниз и натяжение T вдоль нити. Грузик летит по кругу, значит сумма этих сил даёт центростремительную силу, направленную к центру (горизонтально).

Разложим натяжение: вертикальная часть держит вес, горизонтальная разгоняет грузик по кругу. Из этих двух уравнений и вытянем ответ.

Решение

Вертикаль (по вертикали ускорения нет): T\cos\alpha = mg.

Горизонталь (второй закон Ньютона, a = \omega^2 r, r = l\sin\alpha): T\sin\alpha = m\omega^2 l\sin\alpha, откуда T = m\omega^2 l.

Сразу видно главное: натяжение T = m\omega^2 l — оно растёт как квадрат угловой скорости. Поэтому если \omega удвоить, то T вырастет в 2^2 = 4 раза. Это и есть ключ.

Начало: по вертикали T_1\cos 60^\circ = mg, значит T_1 = \dfrac{mg}{0{,}5} = 2mg.

То есть в начале натяжение уже вдвое больше веса.

После удвоения скорости (\omega_2 = 2\omega_1):

\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{m\omega_2^2 l}{m\omega_1^2 l} = \left(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2 = 2^2 = 4.

Поэтому T_2 = 4 T_1 = 4 \cdot 2mg = 8mg.

Значит, в момент обрыва натяжение превышало силу тяжести в

n = \dfrac{T_2}{mg} = 8 раз.

Ответ: n = 8.