Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017526

Дано

$m = 100$ г $= 0{,}1$ кг
$\alpha_1 = 60^\circ$
$\omega_2 = 2\omega_1$ (угловую скорость удвоили)

Найти: $n = \dfrac{T_2}{mg}$ — во сколько раз натяжение при обрыве больше силы тяжести.

Идея

На рисунке тот же конический маятник: грузик бегает по горизонтальному кругу, нить очерчивает конус. Силы две — тяжесть $mg$ вниз и натяжение $T$ вдоль нити. Грузик летит по кругу, значит сумма этих сил даёт центростремительную силу, направленную к центру (горизонтально).

Разложим натяжение: вертикальная часть держит вес, горизонтальная разгоняет грузик по кругу. Из этих двух уравнений и вытянем ответ.

Решение

Вертикаль (по вертикали ускорения нет): $T\cos\alpha = mg$.

Горизонталь (второй закон Ньютона, $a = \omega^2 r$, $r = l\sin\alpha$): $T\sin\alpha = m\omega^2 l\sin\alpha$, откуда $T = m\omega^2 l$.

Сразу видно главное: натяжение $T = m\omega^2 l$ — оно растёт как квадрат угловой скорости. Поэтому если $\omega$ удвоить, то $T$ вырастет в $2^2 = 4$ раза. Это и есть ключ.

Начало: по вертикали $T_1\cos 60^\circ = mg$, значит $T_1 = \dfrac{mg}{0{,}5} = 2mg$.

То есть в начале натяжение уже вдвое больше веса.

После удвоения скорости ($\omega_2 = 2\omega_1$):

$\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{m\omega_2^2 l}{m\omega_1^2 l} = \left(\dfrac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2 = 2^2 = 4$.

Поэтому $T_2 = 4 T_1 = 4 \cdot 2mg = 8mg$.

Значит, в момент обрыва натяжение превышало силу тяжести в

$n = \dfrac{T_2}{mg} = 8$ раз.