Динамика — Задание 22 ЕГЭ по физике №00017525

Дано

$m = 100$ г $= 0{,}1$ кг
$\alpha_1 = 60^\circ$
$T_{max} = nmg$, $\,n = 4$

Найти: $\dfrac{\omega_2}{\omega_1}$ — во сколько раз увеличить угловую скорость.

Идея

На рисунке грузик бегает по горизонтальному кругу, а нить рисует в воздухе конус (отсюда и название). На грузик действуют всего две силы: тяжесть $mg$ вниз и натяжение нити $T$ вдоль нити к точке подвеса. Никакого равновесия здесь нет — грузик летит по кругу, поэтому равнодействующая этих двух сил не ноль, а направлена строго к центру круга (горизонтально) и играет роль центростремительной силы.

Разложим натяжение на две части: вертикальную и горизонтальную. Вертикальная часть держит вес, горизонтальная — закручивает грузик по кругу.

Решение

Вертикаль (грузик не падает и не взлетает, по вертикали ускорения нет):

$T\cos\alpha = mg \;\Rightarrow\; T = \dfrac{mg}{\cos\alpha}$.

Горизонталь (второй закон Ньютона, ускорение центростремительное $a = \omega^2 r$, а радиус круга $r = l\sin\alpha$):

$T\sin\alpha = m\omega^2 r = m\omega^2 l\sin\alpha \;\Rightarrow\; T = m\omega^2 l$.

Главная мысль: натяжение $T = \dfrac{mg}{\cos\alpha}$ — то есть чем сильнее раскручиваем, тем больше угол $\alpha$, тем меньше $\cos\alpha$ и тем сильнее тянется нить. Нить рвётся, когда $T$ дорастёт до $4mg$.

Начало (угол 60°): $T_1 = \dfrac{mg}{\cos 60^\circ} = \dfrac{mg}{0{,}5} = 2mg$.
Угловую скорость найдём из $T = m\omega^2 l$: $\;\omega_1^2 = \dfrac{T_1}{ml} = \dfrac{2mg}{ml} = \dfrac{2g}{l}$.

Момент разрыва: $T_2 = nmg = 4mg$, тогда $\cos\alpha_2 = \dfrac{mg}{T_2} = \dfrac{1}{4}$.
А угловая скорость: $\;\omega_2^2 = \dfrac{T_2}{ml} = \dfrac{4mg}{ml} = \dfrac{4g}{l}$.

Делим, чтобы найти во сколько раз:

$\dfrac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\dfrac{\omega_2^2}{\omega_1^2}} = \sqrt{\dfrac{4g/l}{2g/l}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.