Дано

m = 100 г = 0{,}1 кг
\alpha_1 = 60^\circ
T_{max} = nmg, \,n = 4

Найти: \dfrac{\omega_2}{\omega_1} — во сколько раз увеличить угловую скорость.

Идея

На рисунке грузик бегает по горизонтальному кругу, а нить рисует в воздухе конус (отсюда и название). На грузик действуют всего две силы: тяжесть mg вниз и натяжение нити T вдоль нити к точке подвеса. Никакого равновесия здесь нет — грузик летит по кругу, поэтому равнодействующая этих двух сил не ноль, а направлена строго к центру круга (горизонтально) и играет роль центростремительной силы.

Разложим натяжение на две части: вертикальную и горизонтальную. Вертикальная часть держит вес, горизонтальная — закручивает грузик по кругу.

Решение

Вертикаль (грузик не падает и не взлетает, по вертикали ускорения нет):

T\cos\alpha = mg \;\Rightarrow\; T = \dfrac{mg}{\cos\alpha}.

Горизонталь (второй закон Ньютона, ускорение центростремительное a = \omega^2 r, а радиус круга r = l\sin\alpha):

T\sin\alpha = m\omega^2 r = m\omega^2 l\sin\alpha \;\Rightarrow\; T = m\omega^2 l.

Главная мысль: натяжение T = \dfrac{mg}{\cos\alpha} — то есть чем сильнее раскручиваем, тем больше угол \alpha, тем меньше \cos\alpha и тем сильнее тянется нить. Нить рвётся, когда T дорастёт до 4mg.

Начало (угол 60°): T_1 = \dfrac{mg}{\cos 60^\circ} = \dfrac{mg}{0{,}5} = 2mg.
Угловую скорость найдём из T = m\omega^2 l: \;\omega_1^2 = \dfrac{T_1}{ml} = \dfrac{2mg}{ml} = \dfrac{2g}{l}.

Момент разрыва: T_2 = nmg = 4mg, тогда \cos\alpha_2 = \dfrac{mg}{T_2} = \dfrac{1}{4}.
А угловая скорость: \;\omega_2^2 = \dfrac{T_2}{ml} = \dfrac{4mg}{ml} = \dfrac{4g}{l}.

Делим, чтобы найти во сколько раз:

\dfrac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\dfrac{\omega_2^2}{\omega_1^2}} = \sqrt{\dfrac{4g/l}{2g/l}} = \sqrt{2} \approx 1{,}41.

Ответ: угловую скорость надо увеличить примерно в 1,41 раза (в \sqrt{2} раз).