ID: 00017518
В механической системе, изображённой на рисунке, двухступенчатый блок с радиусами $r = 10$ см и $R = 20$ см может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплена лёгкая штанга длиной $l = 30$ см, на конце которой расположен маленький груз массой $m$, а на ступенях блока намотана невесомая нерастяжимая нить, концы которой закреплены на блоке. На нити под этим блоком висит очень лёгкий подвижный блок радиусом 15 см, который может вращаться без трения вокруг своей оси, к которой подвешен груз массой $M = 1$ кг. Вначале штангу удерживали в вертикальном положении, а затем отпустили, и после затухания колебаний в системе штанга в положении равновесия оказалась отклонённой от вертикали на угол $\alpha = 30^\circ$. Чему равна масса груза $m$?
Источник: ФИПИ
Система остановилась — значит, блок находится в равновесии. Для тела, которое может крутиться вокруг оси, равновесие — это когда сумма моментов сил (момент = сила, умноженная на плечо, то есть на «рычаг») равна нулю. На наш блок действуют две вещи, которые пытаются его повернуть: тяжёлый груз $m$ на штанге тянет в одну сторону, а натянутая нить с подвешенным грузом $M$ — в другую. Найдём оба момента и приравняем.
Сверху — двойной блок: маленькая ступень радиусом $r$ внутри и большая радиусом $R$ снаружи (они вращаются как одно целое). От центра наклонно отходит штанга длиной $l$ с шариком $m$ на конце; пунктиром показана вертикаль, а угол $\alpha$ — отклонение штанги от неё. Снизу на нити висит лёгкий подвижный блок, а к его оси подвешен груз $M$.
Подвижный блок невесомый, и его держат две ветви одной и той же нити. Вес груза $M$ распределяется поровну между ними — это и есть выигрыш в силе, который даёт подвижный блок. Поэтому в каждой ветви натяжение
$$T = \dfrac{Mg}{2}.$$
Концы нити намотаны на разные ступени и сматываются в противоположные стороны. Значит, одна ветвь тянет блок за плечо $R$, а вторая — за плечо $r$ в обратную сторону. Их моменты вычитаются, и суммарный «поворачивающий» момент нити равен
$$M_{\text{нити}} = T(R-r) = \dfrac{Mg}{2}\,(R-r).$$
Вес $mg$ приложен на конце штанги, на расстоянии $l$ от оси. Но плечо — это не вся длина штанги, а только её «горизонтальная» часть, то есть $l\sin\alpha$ (когда штанга вертикальна, плечо нулевое, поворачивать нечем; чем сильнее наклон — тем больше плечо). Момент тяжести:
$$M_{\text{тяж}} = mg\,l\sin\alpha.$$
Приравниваем моменты:
$$mg\,l\sin\alpha = \dfrac{Mg}{2}(R-r).$$
Ускорение $g$ сокращается. Выражаем массу:
$$m = \dfrac{M\,(R-r)}{2\,l\sin\alpha}.$$
$$m = \dfrac{1\cdot(0{,}20-0{,}10)}{2\cdot 0{,}30\cdot \sin 30^\circ} = \dfrac{0{,}10}{2\cdot 0{,}30\cdot 0{,}5} = \dfrac{0{,}10}{0{,}30} \approx 0{,}33\ \text{кг}.$$