ID: 00017514
В механической системе, изображённой на рисунке, все блоки, пружины и нити невесомые, нити нерастяжимые, трения в осях блоков нет, все участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Известно, что после подвешивания груза $M$ к оси самого правого блока левая пружина, имеющая коэффициент жёсткости $k_1 = 500$ Н/м, в состоянии равновесия растянулась на величину $\Delta x_1 = 10$ см. На какую величину $\Delta x_2$ удлинилась при этом правая пружина, если её коэффициент жёсткости равен $k_2 = 1000$ Н/м?
Источник: ФИПИ
$k_1=500$ Н/м, $\Delta x_1=10$ см $=0{,}1$ м, $k_2=1000$ Н/м. Найти $\Delta x_2$.
Вся хитрость — в двух простых истинах про идеальную систему. Первая: нить невесомая и нерастяжимая, блоки без трения, значит вдоль одной непрерывной нити натяжение $T$ всюду одинаково (нить как один «провод» с одной и той же тягой по всей длине). Вторая: сила пружины равна $F=k\Delta x$ (закон Гука) и каждая пружина в равновесии тянет ровно с той силой, с какой её тянет прикреплённая к ней нить.
Груз $M$ висит на оси самого правого (нижнего) подвижного блока. Этот блок охватывает нить — его держат снизу-вверх два участка нити. Дальше нить идёт вверх через цепочку блоков. Левая пружина $k_1$ держит крайний левый блок, и к ней приходит один участок нити, то есть левая пружина натянута силой $F_1 = T$. Правая пружина $k_2$ включена ближе к грузу, и через систему подвижных блоков на неё приходит учетверённая тяга: на схеме два последовательных подвижных блока удваивают усилие дважды, поэтому правую пружину тянет сила $F_2 = 4T$.
Для подвижного блока без трения: сколько участков нити его обхватывает, столько раз $T$ и складывается на его оси (блок невесомый — сам по себе ничего не весит). Пройдя через две такие «ступени», тяга умножается на $2\cdot2=4$. Отсюда ключевое соотношение между пружинами:
$$\frac{F_2}{F_1}=\frac{4T}{T}=4 \quad\Rightarrow\quad F_2 = 4F_1.$$
Здесь сам груз $M$ в ответ не входит: он одинаково «прокачивается» через обе пружины и сокращается — нужно лишь отношение их натяжений.
Сила левой пружины: $F_1 = k_1\Delta x_1 = 500\cdot0{,}1 = 50$ Н.
Тогда сила правой пружины: $F_2 = 4F_1 = 200$ Н.
Удлинение правой пружины по закону Гука: $\Delta x_2 = \dfrac{F_2}{k_2} = \dfrac{200}{1000} = 0{,}2$ м.