ID: 00017514
В механической системе, изображённой на рисунке, все блоки, пружины и нити невесомые, нити нерастяжимые, трения в осях блоков нет, все участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Известно, что после подвешивания груза M к оси самого правого блока левая пружина, имеющая коэффициент жёсткости k_1 = 500 Н/м, в состоянии равновесия растянулась на величину \Delta x_1 = 10 см. На какую величину \Delta x_2 удлинилась при этом правая пружина, если её коэффициент жёсткости равен k_2 = 1000 Н/м?
Источник: ФИПИ
k_1=500 Н/м, \Delta x_1=10 см =0{,}1 м, k_2=1000 Н/м. Найти \Delta x_2.
Вся хитрость — в двух простых истинах про идеальную систему. Первая: нить невесомая и нерастяжимая, блоки без трения, значит вдоль одной непрерывной нити натяжение T всюду одинаково (нить как один «провод» с одной и той же тягой по всей длине). Вторая: сила пружины равна F=k\Delta x (закон Гука) и каждая пружина в равновесии тянет ровно с той силой, с какой её тянет прикреплённая к ней нить.
Груз M висит на оси самого правого (нижнего) подвижного блока. Этот блок охватывает нить — его держат снизу-вверх два участка нити. Дальше нить идёт вверх через цепочку блоков. Левая пружина k_1 держит крайний левый блок, и к ней приходит один участок нити, то есть левая пружина натянута силой F_1 = T. Правая пружина k_2 включена ближе к грузу, и через систему подвижных блоков на неё приходит учетверённая тяга: на схеме два последовательных подвижных блока удваивают усилие дважды, поэтому правую пружину тянет сила F_2 = 4T.
Для подвижного блока без трения: сколько участков нити его обхватывает, столько раз T и складывается на его оси (блок невесомый — сам по себе ничего не весит). Пройдя через две такие «ступени», тяга умножается на 2\cdot2=4. Отсюда ключевое соотношение между пружинами:
\frac{F_2}{F_1}=\frac{4T}{T}=4 \quad\Rightarrow\quad F_2 = 4F_1.
Здесь сам груз M в ответ не входит: он одинаково «прокачивается» через обе пружины и сокращается — нужно лишь отношение их натяжений.
Сила левой пружины: F_1 = k_1\Delta x_1 = 500\cdot0{,}1 = 50 Н.
Тогда сила правой пружины: F_2 = 4F_1 = 200 Н.
Удлинение правой пружины по закону Гука: \Delta x_2 = \dfrac{F_2}{k_2} = \dfrac{200}{1000} = 0{,}2 м.
Ответ: \Delta x_2 = 0{,}2 м = 20 см.