ID: 00017513
Материальная точка движется прямолинейно вдоль оси $X$. На рисунке приведён график зависимости проекции ускорения $a_x$ этой точки от времени $t$. Известно, что в момент времени $t_0 = 1$ с проекция скорости точки равна $\upsilon_0 = -2$ м/с. Постройте график зависимости проекции скорости $\upsilon_x$ от времени $t$ и объясните его построение.
Источник: ФИПИ
Ускорение — это «скорость изменения скорости». Поэтому угол наклона графика $\upsilon_x(t)$ на каждом участке равен значению $a_x$ на этом участке: где ускорение постоянно — там скорость меняется по прямой, где ускорение равно нулю — там скорость стоит на месте. Двигаемся от известной точки $t_0=1$ с, где $\upsilon_0=-2$ м/с, и достраиваем график влево и вправо.
График ускорения разбит на три «ступеньки»:
• на участке от $-4$ с до $-1$ с проекция ускорения $a_x = -1$ м/с²;
• на участке от $-1$ с до $+1$ с ускорение $a_x = 0$;
• на участке от $+1$ с до $+5$ с ускорение $a_x = +4$ м/с².
Связь скорости и ускорения при постоянном $a_x$: $\upsilon_x(t) = \upsilon_x(t_1) + a_x\,(t-t_1)$. Это прямая линия, и её наклон — это и есть $a_x$. Если $a_x=0$, прямая горизонтальна (скорость не меняется).
Средний участок $(-1;1)$: здесь $a_x=0$, значит скорость постоянна. В точке $t_0=1$ с дано $\upsilon_x=-2$ м/с, поэтому на всём участке $\upsilon_x=-2$ м/с. В частности, в момент $t=-1$ с тоже $\upsilon_x=-2$ м/с.
Левый участок $(-4;-1)$: ускорение $-1$ м/с². От точки $t=-1$ с ($\upsilon_x=-2$ м/с) идём влево. По формуле $\upsilon_x(-4) = -2 + (-1)\cdot(-4-(-1)) = -2 + 3 = +1$ м/с. Значит на этом участке прямая спускается от $+1$ м/с (при $t=-4$ с) до $-2$ м/с (при $t=-1$ с).
Правый участок $(1;5)$: ускорение $+4$ м/с². От точки $t=1$ с ($\upsilon_x=-2$ м/с) идём вправо: $\upsilon_x(t) = -2 + 4\,(t-1)$. Скорость обращается в ноль при $t-1=0{,}5$, то есть при $t=1{,}5$ с (тут точка разворачивается). При $t=5$ с: $\upsilon_x = -2 + 4\cdot4 = +14$ м/с.
График скорости: наклонная прямая вниз от $+1$ до $-2$ м/с на $(-4;-1)$, затем горизонталь $-2$ м/с на $(-1;1)$, затем наклонная вверх от $-2$ до $+14$ м/с на $(1;5)$ с пересечением нуля при $t=1{,}5$ с.
Опорные точки: $\upsilon_x(-4)=+1$ м/с, $\upsilon_x(-1)=\upsilon_x(1)=-2$ м/с, $\upsilon_x(1{,}5)=0$, $\upsilon_x(5)=+14$ м/с.
График $\upsilon_x(t)$ состоит из трёх участков. На $(-4;-1)$ — прямая с наклоном $-1$ м/с² (скорость падает от $+1$ м/с до $-2$ м/с). На $(-1;1)$ — горизонтальная прямая $\upsilon_x=-2$ м/с. На $(1;5)$ — прямая с наклоном $+4$ м/с² (скорость растёт от $-2$ м/с, проходит ноль при $t=1{,}5$ с и доходит до $+14$ м/с при $t=5$ с).
Опорные точки: $\upsilon_x(-4)=+1$ м/с; $\upsilon_x(-1)=\upsilon_x(1)=-2$ м/с; $\upsilon_x(1{,}5)=0$; $\upsilon_x(5)=+14$ м/с.