L/C контур

Задание №13. Э/м Колебания и Оптика

№2. Задание 13

ID: 00017301

Идеальный колебательный контур состоит из катушки индуктивности, незаряженного плоского конденсатора и разомкнутого ключа. После сообщения конденсатору начального заряда $$q_0$$ ключ замыкают и измеряют амплитуду колебаний силы тока в контуре. Затем этот опыт повторяют, заменив конденсатор на другой, у которого площадь обкладок в $$16$$ раз больше, а расстояние между ними в $$4$$ раза меньше, чем у исходного конденсатора. Во сколько раз после замены конденсатора уменьшится амплитуда колебаний силы тока в контуре, если начальный заряд конденсатора по-прежнему равен $$q_0$$ ?

Источник: ФИПИ

Решение

Идея

В контуре энергия «переливается» из конденсатора в катушку и обратно, и полная энергия сохраняется. Вся энергия заряженного конденсатора $\dfrac{q_0^2}{2C}$ целиком переходит в энергию тока в катушке $\dfrac{LI_0^2}{2}$ в момент, когда конденсатор разрядится. Значит, амплитуда тока зависит от ёмкости. А ёмкость плоского конденсатора задаётся его геометрией.

Шаг 1. Как изменилась ёмкость

Ёмкость плоского конденсатора $C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ . Площадь $$S$$ увеличили в $$16$$ раз, расстояние $$d$$ уменьшили в $$4$$ раза, значит, ёмкость выросла: $C_2=16\cdot4\cdot C_1=64\,C_1$ .

Шаг 2. Связь амплитуды тока с ёмкостью

Из закона сохранения энергии $\dfrac{q_0^2}{2C}=\dfrac{LI_0^2}{2}$ получаем $I_0=\dfrac{q_0}{\sqrt{LC}}$ . Заряд $$q_0$$ и индуктивность $$L$$ те же, поэтому $I_0\sim\dfrac{1}{\sqrt{C}}$ .

Шаг 3. Во сколько раз уменьшится ток

$\dfrac{I_1}{I_2}=\sqrt{\dfrac{C_2}{C_1}}=\sqrt{64}=8$ . Ёмкость выросла в $$64$$ раза, но ток упал лишь в $$8$$ раз — потому что в формулу входит корень.

Ответ

Видеоразбор

Другие задания по теме «L/C контур» (8)