ID: 00017189
Вольт-амперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями $U_1=\alpha I^2$, $U_2=2\alpha I^2$, $U_3=4\alpha I^2$, где $\alpha$ — некоторая известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 — последовательно с ними (см. рисунок). Определите зависимость напряжения на концах этого участка цепи от силы тока $I$, текущего через участок, если токи через лампы таковы, что выполняются указанные квадратичные зависимости.
Источник: Сборник Гиголо
Лампы нелинейные: $U=cI^2$. Удобно перевернуть характеристику и выразить ток через напряжение $I=\sqrt{U/c}$ — тогда параллель считается обычным сложением токов, а последовательное соединение — сложением напряжений.
Общее напряжение $U_{23}$, токи $I_2=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{2\alpha}}$, $I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{4\alpha}}$. Полный ток $I=I_2+I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\right)$.
Скобка равна $0{,}707+0{,}5=1{,}207$. Значит $\sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}=\dfrac{I}{1{,}207}$ и $U_{23}=\alpha\left(\dfrac{I}{1{,}207}\right)^2\approx 0{,}69\,\alpha I^2$.
Через Л1 течёт весь ток: $U_1=\alpha I^2$. Складываем напряжения участков: $U=U_1+U_{23}=\alpha I^2+0{,}69\,\alpha I^2\approx 1{,}7\,\alpha I^2$.
U ≈ 1,7·α·I²