ID: 00017189
Вольт-амперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями U_1=\alpha I^2, U_2=2\alpha I^2, U_3=4\alpha I^2, где \alpha — некоторая известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 — последовательно с ними (см. рисунок). Определите зависимость напряжения на концах этого участка цепи от силы тока I, текущего через участок, если токи через лампы таковы, что выполняются указанные квадратичные зависимости.
Источник: Сборник Гиголо
Лампы нелинейные: U=cI^2. Удобно перевернуть характеристику и выразить ток через напряжение I=\sqrt{U/c} — тогда параллель считается обычным сложением токов, а последовательное соединение — сложением напряжений.
Общее напряжение U_{23}, токи I_2=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{2\alpha}}, I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{4\alpha}}. Полный ток I=I_2+I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2}\right).
Скобка равна 0{,}707+0{,}5=1{,}207. Значит \sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}=\dfrac{I}{1{,}207} и U_{23}=\alpha\left(\dfrac{I}{1{,}207}\right)^2\approx 0{,}69\,\alpha I^2.
Через Л1 течёт весь ток: U_1=\alpha I^2. Складываем напряжения участков: U=U_1+U_{23}=\alpha I^2+0{,}69\,\alpha I^2\approx 1{,}7\,\alpha I^2.
Ответ: U ≈ 1,7·α·I².
U ≈ 1,7·α·I²