ID: 00017188
Вольт-амперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями $U_1=\alpha I^2$, $U_2=3\alpha I^2$, $U_3=6\alpha I^2$, где $\alpha$ — некоторая известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 — последовательно с ними (см. рисунок). Определите зависимость напряжения на концах этого участка цепи от силы тока $I$, текущего через участок, если токи через лампы таковы, что выполняются указанные квадратичные зависимости.
Источник: Сборник Гиголо
Лампы здесь не обычные резисторы: у каждой своя «капризная» связь напряжения и тока, $U=cI^2$. Удобнее перевернуть её и выразить ток через напряжение: $I=\sqrt{U/c}$. Тогда параллельное соединение считается по-привычному (на обеих лампах одно напряжение, токи складываются), а последовательное — складываем напряжения.
На параллельном участке напряжение общее, пусть оно $U_{23}$. Токи: $I_2=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{3\alpha}}$, $I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{6\alpha}}$. Полный ток участка $I=I_2+I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)$.
Скобка равна $0{,}577+0{,}408=0{,}986$. Тогда $\sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}=\dfrac{I}{0{,}986}$, откуда $U_{23}=\alpha\left(\dfrac{I}{0{,}986}\right)^2\approx 1{,}03\,\alpha I^2$.
Через Л1 течёт весь ток $I$, поэтому $U_1=\alpha I^2$. Напряжения последовательных участков складываются: $U=U_1+U_{23}=\alpha I^2+1{,}03\,\alpha I^2\approx 2{,}03\,\alpha I^2$.
U ≈ 2,03·α·I² (точно U = (1 + 6(√2 − 1)²)·α·I²).