ID: 00017188
Вольт-амперные характеристики газовых ламп Л1, Л2 и Л3 при достаточно больших токах хорошо описываются квадратичными зависимостями U_1=\alpha I^2, U_2=3\alpha I^2, U_3=6\alpha I^2, где \alpha — некоторая известная размерная константа. Лампы Л2 и Л3 соединили параллельно, а лампу Л1 — последовательно с ними (см. рисунок). Определите зависимость напряжения на концах этого участка цепи от силы тока I, текущего через участок, если токи через лампы таковы, что выполняются указанные квадратичные зависимости.
Источник: Сборник Гиголо
Лампы здесь не обычные резисторы: у каждой своя «капризная» связь напряжения и тока, U=cI^2. Удобнее перевернуть её и выразить ток через напряжение: I=\sqrt{U/c}. Тогда параллельное соединение считается по-привычному (на обеих лампах одно напряжение, токи складываются), а последовательное — складываем напряжения.
На параллельном участке напряжение общее, пусть оно U_{23}. Токи: I_2=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{3\alpha}}, I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{6\alpha}}. Полный ток участка I=I_2+I_3=\sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right).
Скобка равна 0{,}577+0{,}408=0{,}986. Тогда \sqrt{\dfrac{U_{23}}{\alpha}}=\dfrac{I}{0{,}986}, откуда U_{23}=\alpha\left(\dfrac{I}{0{,}986}\right)^2\approx 1{,}03\,\alpha I^2.
Через Л1 течёт весь ток I, поэтому U_1=\alpha I^2. Напряжения последовательных участков складываются: U=U_1+U_{23}=\alpha I^2+1{,}03\,\alpha I^2\approx 2{,}03\,\alpha I^2.
Ответ: U ≈ 2,03·α·I².
U ≈ 2,03·α·I² (точно U = (1 + 6(√2 − 1)²)·α·I²).