ID: 00017178
Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью $C_1=3C$, $C_2=2C$, $C_3=C$ и $C_4=4C$ подключена к источнику постоянного тока с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$ (см. рисунок). Определите энергию конденсатора $C_1$.
Источник: Сборник Гиголо
Конденсаторы заряжены — тока в установившемся режиме нет, поэтому падения на $r$ нет и на батарею конденсаторов приходится всё напряжение $\varepsilon$. Свернём схему до общей ёмкости, найдём заряд, потом раскрутим обратно к напряжению на $C_1$.
По схеме $C_1$ и $C_3$ соединены параллельно, $C_2$ и $C_4$ — параллельно, а две эти пары — последовательно. Пары: $C_{13}=C_1+C_3=3C+C=4C$; $C_{24}=C_2+C_4=2C+4C=6C$. Общая ёмкость: $C_{общ}=\dfrac{C_{13}C_{24}}{C_{13}+C_{24}}=\dfrac{4C\cdot 6C}{10C}=2{,}4C$.
Тока нет $\Rightarrow$ напряжение на батарее равно $\varepsilon$. Общий заряд (он же заряд каждой из последовательно соединённых пар): $q_0=C_{общ}\varepsilon=2{,}4C\varepsilon$. Напряжение на паре $C_{13}$: $U_{13}=\dfrac{q_0}{C_{13}}=\dfrac{2{,}4C\varepsilon}{4C}=0{,}6\varepsilon$.
$C_1$ стоит параллельно $C_3$, значит на нём то же напряжение $U_1=U_{13}=0{,}6\varepsilon$. Энергия: $W_1=\dfrac{C_1U_1^2}{2}=\dfrac{3C\cdot(0{,}6\varepsilon)^2}{2}=\dfrac{3C\cdot 0{,}36\varepsilon^2}{2}=0{,}54\,C\varepsilon^2$.
W₁ = 0,54·C·ε² (= 27Cε²/50)