ID: 00017166
По однородному цилиндрическому алюминиевому проводнику сечением $2\cdot10^{-6}$ м² пропустили ток $10$ А. Определите промежуток времени, в течение которого температура проводника повысится на $10$ К. Изменением сопротивления проводника и рассеянием тепла при его нагревании пренебречь. (Удельное сопротивление алюминия $2,5\cdot10^{-8}$ Ом·м, плотность алюминия $2700$ кг/м³, удельная теплоёмкость алюминия $900$ Дж/(кг·К).)
Источник: Сборник Гиголо
Весь джоулев нагрев идёт на повышение температуры проводника (потерями пренебрегаем). Приравняем тепло по закону Джоуля–Ленца к теплу на нагрев $cm\Delta T$. Удобно, что длина проводника и площадь сечения войдут так, что длина сократится.
По Джоулю–Ленцу: $Q=I^2Rt$. На нагрев: $Q=cm\Delta T$. Здесь сопротивление $R=\dfrac{\rho l}{S}$, масса $m=\rho_{пл} l S$ ($\rho_{пл}$ — плотность).
$I^2\dfrac{\rho l}{S}t=c\,\rho_{пл}\,lS\,\Delta T$. Длина $l$ сокращается: $t=\dfrac{c\,\rho_{пл}\,S^2\,\Delta T}{I^2\rho}$.
$t=\dfrac{900\cdot2700\cdot(2\cdot10^{-6})^2\cdot10}{10^2\cdot2,5\cdot10^{-8}}=\dfrac{900\cdot2700\cdot4\cdot10^{-12}\cdot10}{2,5\cdot10^{-6}}\approx38,9$ с.
t ≈ 38,9 с