ID: 00017143
По гладкой горизонтальной направляющей длины $2l$ скользит бусинка с отрицательным зарядом $Q\lt 0$ и массой $m$. На концах направляющей закреплены отрицательные заряды $q\lt 0$ (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен $T$.
Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд увеличить в 4 раза (по модулю)?
Источник: Сборник Гиголо
В положении равновесия (середина направляющей) обе силы отталкивания равны и гасят друг друга. Стоит бусинке чуть сместиться — появляется возвращающая сила, и она бежит обратно. Если эта сила пропорциональна смещению, то колебания гармонические, как у груза на пружине. Значит, всё дело в том, какую «жёсткость пружины» создают заряды.
Пусть бусинка сместилась на маленькое $x$ от центра. До ближнего заряда теперь $l-x$, до дальнего $l+x$. Сила Кулона $F=\dfrac{k|Q||q|}{r^2}$, и обе силы отталкивают бусинку. Результирующая (вдоль направляющей):
$F=k|Q||q|\left(\dfrac{1}{(l-x)^2}-\dfrac{1}{(l+x)^2}\right)$.
При малом $x$ это даёт $F\approx -\dfrac{4k|Q||q|}{l^3}\,x$ — сила линейна по $x$, то есть роль «жёсткости» играет $k_{\text{эфф}}=\dfrac{4k|Q||q|}{l^3}$.
Для гармонических колебаний $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\text{эфф}}}}=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4k|Q||q|}}$. Видно главное: $T\propto \dfrac{1}{\sqrt{|Q|}}$.
Заменяем $|Q|\to 4|Q|$. Под корнем заряд стоит в знаменателе, поэтому $T'=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4k\cdot 4|Q|\cdot|q|}}=\dfrac{T}{\sqrt{4}}=\dfrac{T}{2}$.
Новый период уменьшится в 2 раза: T' = T/2.