ID: 00017143
По гладкой горизонтальной направляющей длины 2l скользит бусинка с отрицательным зарядом Q\lt 0 и массой m. На концах направляющей закреплены отрицательные заряды q\lt 0 (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен T.
Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд увеличить в 4 раза (по модулю)?
Источник: Сборник Гиголо
В положении равновесия (середина направляющей) обе силы отталкивания равны и гасят друг друга. Стоит бусинке чуть сместиться — появляется возвращающая сила, и она бежит обратно. Если эта сила пропорциональна смещению, то колебания гармонические, как у груза на пружине. Значит, всё дело в том, какую «жёсткость пружины» создают заряды.
Пусть бусинка сместилась на маленькое x от центра. До ближнего заряда теперь l-x, до дальнего l+x. Сила Кулона F=\dfrac{k|Q||q|}{r^2}, и обе силы отталкивают бусинку. Результирующая (вдоль направляющей):
F=k|Q||q|\left(\dfrac{1}{(l-x)^2}-\dfrac{1}{(l+x)^2}\right).
При малом x это даёт F\approx -\dfrac{4k|Q||q|}{l^3}\,x — сила линейна по x, то есть роль «жёсткости» играет k_{\text{эфф}}=\dfrac{4k|Q||q|}{l^3}.
Для гармонических колебаний T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k_{\text{эфф}}}}=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4k|Q||q|}}. Видно главное: T\propto \dfrac{1}{\sqrt{|Q|}}.
Заменяем |Q|\to 4|Q|. Под корнем заряд стоит в знаменателе, поэтому T'=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4k\cdot 4|Q|\cdot|q|}}=\dfrac{T}{\sqrt{4}}=\dfrac{T}{2}.
Ответ: период уменьшится в 2 раза, T'=T/2.
Новый период уменьшится в 2 раза: T' = T/2.