ID: 00017142
По гладкой горизонтальной направляющей длины $2l$ скользит бусинка с положительным зарядом $Q \gt 0$ и массой $m$. На концах направляющей закреплены положительные заряды $q \gt 0$ (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен $T$. Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд уменьшить в 2 раза?
Источник: Сборник Гиголо
Та же бусинка между двумя одинаковыми зарядами. В центре равновесие, при малом сдвиге ближний заряд отталкивает сильнее — возникает возвращающая сила. Найдём, как период зависит от заряда бусинки, и применим это к уменьшению заряда вдвое.
При смещении $x$ сила $F=kQq\left(\dfrac{1}{(l-x)^2}-\dfrac{1}{(l+x)^2}\right)\approx-\dfrac{4kQq}{l^3}x$ — линейная, колебания гармонические. Тогда $\omega^2=\dfrac{4kQq}{m l^3}$ и $T=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4kQq}}$, то есть $T\propto\dfrac{1}{\sqrt{Q}}$.
Если $Q\to\dfrac{Q}{2}$, возвращающая сила ослабевает, и период растёт: $\dfrac{T_1}{T}=\sqrt{\dfrac{Q}{Q/2}}=\sqrt{2}$. Значит $T_1=\sqrt{2}\,T\approx1,41\,T$.
T₁ = √2·T ≈ 1,41·T