ID: 00017142
По гладкой горизонтальной направляющей длины 2l скользит бусинка с положительным зарядом Q \gt 0 и массой m. На концах направляющей закреплены положительные заряды q \gt 0 (см. рисунок). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен T. Чему будет равен период колебаний бусинки, если её заряд уменьшить в 2 раза?
Источник: Сборник Гиголо
Та же бусинка между двумя одинаковыми зарядами. В центре равновесие, при малом сдвиге ближний заряд отталкивает сильнее — возникает возвращающая сила. Найдём, как период зависит от заряда бусинки, и применим это к уменьшению заряда вдвое.
При смещении x сила F=kQq\left(\dfrac{1}{(l-x)^2}-\dfrac{1}{(l+x)^2}\right)\approx-\dfrac{4kQq}{l^3}x — линейная, колебания гармонические. Тогда \omega^2=\dfrac{4kQq}{m l^3} и T=2\pi\sqrt{\dfrac{m l^3}{4kQq}}, то есть T\propto\dfrac{1}{\sqrt{Q}}.
Если Q\to\dfrac{Q}{2}, возвращающая сила ослабевает, и период растёт: \dfrac{T_1}{T}=\sqrt{\dfrac{Q}{Q/2}}=\sqrt{2}. Значит T_1=\sqrt{2}\,T\approx1,41\,T.
Ответ: T_1=\sqrt{2}\,T\approx1,41\,T.
T₁ = √2·T ≈ 1,41·T