ID: 00017031
На рисунке 1 приведена зависимость внутренней энергии $U$ одного моля идеального одноатомного газа от его объёма $V$ в процессе 1–2–3. Постройте график этого процесса на рисунке 2 в переменных $p$–$V$. Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на этом рисунке. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.
Источник: Сборник Гиголо
У одноатомного идеального газа внутренняя энергия — это только энергия хаотичного движения молекул, и она равна $U = \dfrac{3}{2}\nu R T$. С другой стороны, $\nu R T = pV$ (уравнение Клапейрона — Менделеева). Подставив одно в другое, мы свяжем внутреннюю энергию напрямую с давлением и объёмом — а это и есть мостик от графика $U(V)$ к графику $p(V)$.
$U = \dfrac{3}{2}\nu R T = \dfrac{3}{2}pV$. Отсюда выражаем давление: $p = \dfrac{2U}{3V}$. Значит, чтобы для каждой точки процесса найти давление, достаточно взять её внутреннюю энергию $U$ и объём $V$ с рисунка 1 и поделить.
Смотрим на рисунок 1. На участке, где при росте объёма внутренняя энергия $U$ остаётся постоянной, $U = \text{const}$, поэтому $p = \dfrac{2U}{3V}$ убывает обратно пропорционально объёму — на диаграмме $p$–$V$ это ветвь гиперболы (как изотерма, ведь $U=\text{const}$ у одноатомного газа означает $T=\text{const}$). На участке, где $U$ растёт прямо пропорционально $V$ (отрезок-луч из начала координат на рисунке 1), отношение $U/V$ постоянно, поэтому $p = \dfrac{2U}{3V} = \text{const}$ — на диаграмме $p$–$V$ это горизонтальный отрезок (изобара).
Беря характерные точки 1, 2, 3 с рисунка 1, считаем для каждой $p = 2U/(3V)$, наносим их на рисунок 2 (точка 1 уже дана) и соединяем по характеру участков: где была изотерма — гипербола, где изобара — горизонталь.
Ответ: график строится по формуле p = 2U/(3V); участку с U = const отвечает изотерма (гипербола) на pV-диаграмме, участку с U ∝ V — изобара (горизонтальный отрезок).
Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия и давление связаны через объём: $U = \tfrac{3}{2}pV$, поэтому $p = \dfrac{2U}{3V}$. По этой формуле каждой точке графика $U(V)$ ставится в соответствие точка на диаграмме $p$–$V$, и по ним строится искомый график процесса 1–2–3 (см. рисунок).