ID: 00017026
Маленькая шайба движется из состояния покоя по неподвижной гладкой сферической поверхности радиусом R. Начальное положение шайбы находится на высоте R/2 относительно нижней точки поверхности. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в момент, когда она движется вправо вверх, находясь на высоте R/6 над нижней точкой поверхности (см. рисунок). Покажите на этом рисунке, куда направлено в этот момент ускорение шайбы (по радиусу поверхности, по касательной к поверхности, внутрь поверхности, наружу от поверхности). Ответ обоснуйте. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Шайба едет по дуге окружности (по внутренней стороне чаши), значит её ускорение удобно разложить на две части: одна «загибает» траекторию — центростремительная (всегда смотрит в центр окружности), вторая разгоняет или тормозит вдоль дуги — касательная. Сложим их по правилу параллелограмма и поймём, куда смотрит полное ускорение. Силы найдём из второго закона Ньютона: что действует на тело — то и определяет ускорение.
Поверхность гладкая, поэтому трения нет. На шайбу действуют только две силы: сила тяжести mg — строго вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры N — перпендикулярно поверхности, то есть вдоль радиуса от точки касания к центру сферы (чаша вогнутая, поэтому реакция «подталкивает» шайбу к центру).
Шайба стартовала из покоя на высоте R/2, а рассматриваемая точка ниже — на высоте R/6. Значит к этому моменту шайба уже скатилась вниз и набрала скорость: \upsilon \neq 0. Раз тело движется по окружности с ненулевой скоростью, у него обязательно есть центростремительное ускорение a_ц = \upsilon^2/R \neq 0, направленное к центру сферы (вдоль радиуса).
Спроецируем силы на касательную к окружности. У реакции N проекции на касательную нет (она вдоль радиуса). А у силы тяжести вдоль касательной есть составляющая mg\sin\beta, где \beta — угол радиуса с вертикалью. Поэтому касательное ускорение a_\tau = g\sin\beta \neq 0 и направлено вниз по дуге, к нижней точке сферы, — оно тормозит шайбу, ведь сейчас она движется вверх.
Полное ускорение \vec{a} = \vec{a_ц} + \vec{a_\tau}. Центростремительная часть смотрит точно к центру (туда же, куда N), а касательная добавляет «наклон» в сторону нижней точки. Поэтому суммарный вектор лежит внутри сферической поверхности и отклонён от направления силы N в сторону нижней точки.
Ответ: ускорение направлено внутрь сферической поверхности (не по радиусу и не по касательной, а под углом), отклонено от направления силы реакции N в сторону нижней точки сферы.
На шайбу действуют сила тяжести mg (вниз) и сила реакции N (по радиусу к центру сферы). Полное ускорение направлено внутрь сферической поверхности и отклонено от направления силы N в сторону нижней точки — у него есть и центростремительная составляющая (скорость в этой точке не равна нулю), и касательная g·sinβ, тормозящая подъём.