ID: 00017025
В открытый контейнер объёмом $V = 80$ мл поместили изотоп полония-210 $^{210}_{84}\text{Po}$. Затем контейнер герметично закрыли. Изотоп полония радиоактивен и претерпевает альфа-распад с периодом полураспада примерно $T = 140$ дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Через $t = 5$ недель давление внутри контейнера составило $P = 1{,}3\cdot10^{5}$ Па. Какую массу полония первоначально поместили в контейнер? Температура внутри контейнера поддерживается постоянной и равна $45\,^\circ$C. Атмосферное давление равно $P_0 = 10^{5}$ Па.
Источник: Сборник Гиголо
Обратная к предыдущей. Полоний при альфа-распаде рождает гелий; его прирост давления над запертым воздухом мы знаем, объём дан. По уравнению состояния найдём, сколько молей гелия образовалось, а значит — сколько ядер полония распалось и сколько полония было вначале.
Гелий добавляет к давлению $\Delta P=P-P_0=1{,}3\cdot10^{5}-10^{5}=0{,}3\cdot10^{5}$ Па. Из $\Delta P\,V=\nu_{He}RT_{°}$, $T_{°}=318$ К, $V=80\cdot10^{-6}\text{ м}^3$:
$\nu_{He}=\dfrac{\Delta P\,V}{R\,T_{°}}=\dfrac{0{,}3\cdot10^{5}\cdot80\cdot10^{-6}}{8{,}31\cdot318}\approx9{,}1\cdot10^{-4}$ моль.
Атомов гелия столько же, сколько распавшихся ядер. Доля распавшихся за $t=35$ дней: $1-2^{-t/T}=1-2^{-0{,}25}\approx0{,}16$. Значит изначально полония было $\nu_0=\dfrac{\nu_{He}}{1-2^{-t/T}}$, а масса
$m_0=\nu_0\,M=\dfrac{M\,(P-P_0)\,V}{R\,T_{°}\,(1-2^{-t/T})}=\dfrac{9{,}1\cdot10^{-4}}{0{,}16}\cdot0{,}210\approx1{,}2\cdot10^{-3}\text{ кг}=1{,}2$ г.
m₀ = M(P−P₀)V / [R·T°(1−2^(−t/T))] ≈ 1,2 г