ID: 00017025
В открытый контейнер объёмом V = 80 мл поместили изотоп полония-210 ^{210}_{84}\text{Po}. Затем контейнер герметично закрыли. Изотоп полония радиоактивен и претерпевает альфа-распад с периодом полураспада примерно T = 140 дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Через t = 5 недель давление внутри контейнера составило P = 1{,}3\cdot10^{5} Па. Какую массу полония первоначально поместили в контейнер? Температура внутри контейнера поддерживается постоянной и равна 45\,^\circC. Атмосферное давление равно P_0 = 10^{5} Па.
Источник: Сборник Гиголо
Обратная к предыдущей. Полоний при альфа-распаде рождает гелий; его прирост давления над запертым воздухом мы знаем, объём дан. По уравнению состояния найдём, сколько молей гелия образовалось, а значит — сколько ядер полония распалось и сколько полония было вначале.
Гелий добавляет к давлению \Delta P=P-P_0=1{,}3\cdot10^{5}-10^{5}=0{,}3\cdot10^{5} Па. Из \Delta P\,V=\nu_{He}RT_{°}, T_{°}=318 К, V=80\cdot10^{-6}\text{ м}^3:
\nu_{He}=\dfrac{\Delta P\,V}{R\,T_{°}}=\dfrac{0{,}3\cdot10^{5}\cdot80\cdot10^{-6}}{8{,}31\cdot318}\approx9{,}1\cdot10^{-4} моль.
Атомов гелия столько же, сколько распавшихся ядер. Доля распавшихся за t=35 дней: 1-2^{-t/T}=1-2^{-0{,}25}\approx0{,}16. Значит изначально полония было \nu_0=\dfrac{\nu_{He}}{1-2^{-t/T}}, а масса
m_0=\nu_0\,M=\dfrac{M\,(P-P_0)\,V}{R\,T_{°}\,(1-2^{-t/T})}=\dfrac{9{,}1\cdot10^{-4}}{0{,}16}\cdot0{,}210\approx1{,}2\cdot10^{-3}\text{ кг}=1{,}2 г.
Ответ: m₀ ≈ 1,2 г.
m₀ = M(P−P₀)V / [R·T°(1−2^(−t/T))] ≈ 1,2 г