ID: 00017024
В открытый контейнер поместили m_0 = 1{,}5 г изотопа полония-210 ^{210}_{84}\text{Po}. Затем контейнер герметично закрыли. Изотоп полония радиоактивен и претерпевает альфа-распад с периодом полураспада примерно T = 140 дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Через t = 5 недель давление внутри контейнера составило P = 1{,}4\cdot10^{5} Па. Определите объём контейнера. Температура внутри контейнера поддерживается постоянной и равна 45\,^\circC. Атмосферное давление равно P_0 = 10^{5} Па.
Источник: Сборник Гиголо
Полоний распадается по схеме ^{210}_{84}\text{Po}\to{}^{206}_{82}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He} (альфа-частица — это ядро гелия). Каждое распавшееся ядро рождает один атом гелия — нового газа в контейнере. Контейнер закрыли, когда внутри был воздух при атмосферном давлении P_0. Прирост давления над атмосферным — целиком заслуга гелия. Зная этот прирост, по уравнению состояния найдём объём.
Изначально ядер полония N_0=\dfrac{m_0}{M}N_A, M=0{,}210 кг/моль. За время t распалась доля \left(1-2^{-t/T}\right), и столько же образовалось атомов гелия. В молях:
\nu_{He}=\dfrac{m_0}{M}\left(1-2^{-t/T}\right). При t=35 дней: 2^{-35/140}=2^{-0{,}25}\approx0{,}84, доля распада \approx0{,}16.
\nu_{He}=\dfrac{1{,}5}{210}\cdot0{,}16\approx1{,}14\cdot10^{-3} моль.
Воздух, запертый при P_0, никуда не делся и при постоянной температуре даёт те же P_0. Значит гелий добавил \Delta P = P - P_0 = 1{,}4\cdot10^{5}-10^{5}=0{,}4\cdot10^{5} Па.
\Delta P\cdot V=\nu_{He}RT_{°}, где T_{°}=45+273=318 К. Отсюда
V=\dfrac{\nu_{He}RT_{°}}{\Delta P}=\dfrac{1{,}14\cdot10^{-3}\cdot8{,}31\cdot318}{0{,}4\cdot10^{5}}\approx7{,}5\cdot10^{-5}\text{ м}^3=75\text{ см}^3.
Ответ: V ≈ 75 см³.
V = (m₀/M)(1−2^(−t/T))R·T° / (P−P₀) ≈ 75 см³