ID: 00017024
В открытый контейнер поместили $m_0 = 1{,}5$ г изотопа полония-210 $^{210}_{84}\text{Po}$. Затем контейнер герметично закрыли. Изотоп полония радиоактивен и претерпевает альфа-распад с периодом полураспада примерно $T = 140$ дней, превращаясь в стабильный изотоп свинца. Через $t = 5$ недель давление внутри контейнера составило $P = 1{,}4\cdot10^{5}$ Па. Определите объём контейнера. Температура внутри контейнера поддерживается постоянной и равна $45\,^\circ$C. Атмосферное давление равно $P_0 = 10^{5}$ Па.
Источник: Сборник Гиголо
Полоний распадается по схеме $^{210}_{84}\text{Po}\to{}^{206}_{82}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He}$ (альфа-частица — это ядро гелия). Каждое распавшееся ядро рождает один атом гелия — нового газа в контейнере. Контейнер закрыли, когда внутри был воздух при атмосферном давлении $P_0$. Прирост давления над атмосферным — целиком заслуга гелия. Зная этот прирост, по уравнению состояния найдём объём.
Изначально ядер полония $N_0=\dfrac{m_0}{M}N_A$, $M=0{,}210$ кг/моль. За время $t$ распалась доля $\left(1-2^{-t/T}\right)$, и столько же образовалось атомов гелия. В молях:
$\nu_{He}=\dfrac{m_0}{M}\left(1-2^{-t/T}\right).$ При $t=35$ дней: $2^{-35/140}=2^{-0{,}25}\approx0{,}84$, доля распада $\approx0{,}16$.
$\nu_{He}=\dfrac{1{,}5}{210}\cdot0{,}16\approx1{,}14\cdot10^{-3}$ моль.
Воздух, запертый при $P_0$, никуда не делся и при постоянной температуре даёт те же $P_0$. Значит гелий добавил $\Delta P = P - P_0 = 1{,}4\cdot10^{5}-10^{5}=0{,}4\cdot10^{5}$ Па.
$\Delta P\cdot V=\nu_{He}RT_{°}$, где $T_{°}=45+273=318$ К. Отсюда
$V=\dfrac{\nu_{He}RT_{°}}{\Delta P}=\dfrac{1{,}14\cdot10^{-3}\cdot8{,}31\cdot318}{0{,}4\cdot10^{5}}\approx7{,}5\cdot10^{-5}\text{ м}^3=75\text{ см}^3.$
V = (m₀/M)(1−2^(−t/T))R·T° / (P−P₀) ≈ 75 см³