ID: 00017016
Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп $^{24}_{11}\text{Na}$. Активность 1 см³ этого раствора $a_0 = 2000$ распадов в секунду. Период полураспада изотопа $^{24}_{11}\text{Na}$ равен $T = 15{,}3$ ч. Через $t = 3$ ч 50 мин активность 1 см³ крови пациента стала $a = 0{,}28$ распадов в секунду. Каков объём введённого раствора, если общий объём крови пациента $V = 6$ л? Переходом ядер изотопа $^{24}_{11}\text{Na}$ из крови в другие ткани организма пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Метод меченых атомов. Ввели маленький объём «светящегося» раствора, он размешался во всей крови. Активность падает по двум причинам: во-первых, метка разбавилась в 6 литрах крови, во-вторых, ядра $^{24}\text{Na}$ за это время частично распались. Учтём оба эффекта и найдём, сколько раствора влили.
Объём раствора $V_{р}$, его активность на 1 см³ равна $a_0$. Полная активность сразу после введения: $A_0 = a_0\,V_{р}$ (в распадах в секунду).
За время $t$ активность всей метки уменьшилась по закону распада в $2^{t/T}$ раз: $A = a_0 V_{р}\cdot 2^{-t/T}$. Эта активность размазана по всему объёму крови $V$, поэтому на 1 см³ крови приходится
$a = \dfrac{a_0\,V_{р}\cdot 2^{-t/T}}{V}.$
$V_{р} = \dfrac{a\,V}{a_0}\cdot 2^{t/T}.$ Переведём всё в одни единицы: $V=6$ л $=6000$ см³, $t=3{,}83$ ч.
$2^{t/T}=2^{3{,}83/15{,}3}=2^{0{,}25}\approx1{,}19$.
$V_{р} = \dfrac{0{,}28\cdot 6000}{2000}\cdot 1{,}19 \approx 0{,}84\cdot1{,}19 \approx 1\text{ см}^3.$
Vр = a·V·2^(t/T) / a₀ ≈ 1 см³