ID: 00017016
Пациенту ввели внутривенно дозу раствора, содержащего изотоп ^{24}_{11}\text{Na}. Активность 1 см³ этого раствора a_0 = 2000 распадов в секунду. Период полураспада изотопа ^{24}_{11}\text{Na} равен T = 15{,}3 ч. Через t = 3 ч 50 мин активность 1 см³ крови пациента стала a = 0{,}28 распадов в секунду. Каков объём введённого раствора, если общий объём крови пациента V = 6 л? Переходом ядер изотопа ^{24}_{11}\text{Na} из крови в другие ткани организма пренебречь.
Источник: Сборник Гиголо
Метод меченых атомов. Ввели маленький объём «светящегося» раствора, он размешался во всей крови. Активность падает по двум причинам: во-первых, метка разбавилась в 6 литрах крови, во-вторых, ядра ^{24}\text{Na} за это время частично распались. Учтём оба эффекта и найдём, сколько раствора влили.
Объём раствора V_{р}, его активность на 1 см³ равна a_0. Полная активность сразу после введения: A_0 = a_0\,V_{р} (в распадах в секунду).
За время t активность всей метки уменьшилась по закону распада в 2^{t/T} раз: A = a_0 V_{р}\cdot 2^{-t/T}. Эта активность размазана по всему объёму крови V, поэтому на 1 см³ крови приходится
a = \dfrac{a_0\,V_{р}\cdot 2^{-t/T}}{V}.
V_{р} = \dfrac{a\,V}{a_0}\cdot 2^{t/T}. Переведём всё в одни единицы: V=6 л =6000 см³, t=3{,}83 ч.
2^{t/T}=2^{3{,}83/15{,}3}=2^{0{,}25}\approx1{,}19.
V_{р} = \dfrac{0{,}28\cdot 6000}{2000}\cdot 1{,}19 \approx 0{,}84\cdot1{,}19 \approx 1\text{ см}^3.
Ответ: Vр ≈ 1 см³.
Vр = a·V·2^(t/T) / a₀ ≈ 1 см³