Тонкие Линзы (нет… — Задание ЕГЭ по физике №00016997

Дано:

$E=18$ В/м; $\;Q=-1$ нКл $=-1\cdot10^{-9}$ Кл; $\;q=+5$ нКл $=5\cdot10^{-9}$ Кл; $\;M=5$ г $=5\cdot10^{-3}$ кг; $\;m=10$ г $=10\cdot10^{-3}$ кг; $\;k=9\cdot10^{9}$ Н·м$^2$/Кл$^2$. Ускорения зарядов равны по модулю и направлению.

Найти:

$d$ — расстояние между зарядами.

Решение:

Представь двух человек на ровном льду, которых ещё и тянет общий ветер. На каждого действует свой «ветер» (внешнее поле) и вдобавок их связывает резинка (притяжение разноимённых зарядов). Внешнее поле тянет плюс по полю — вправо, а минус против поля — влево. А «резинка» Кулона стягивает их навстречу друг другу, потому что заряды разного знака притягиваются.

Возьмём ось вправо за положительное направление. Сила Кулона по модулю $F_{\text{к}}=\dfrac{k\,|Q|\,q}{d^2}$, она у каждого направлена к соседу.

На отрицательный $Q$ (слева): поле даёт $|Q|E$ влево, а Кулон тянет вправо (к плюсу). Второй закон Ньютона: $Ma_Q=F_{\text{к}}-|Q|E$.

На положительный $q$ (справа): поле даёт $qE$ вправо, Кулон тянет влево (к минусу). Второй закон: $ma_q=qE-F_{\text{к}}$.

По условию ускорения равны и по величине, и по направлению, значит $a_Q=a_q$:

$\dfrac{F_{\text{к}}-|Q|E}{M}=\dfrac{qE-F_{\text{к}}}{m}.$

Перемножим крест-накрест и соберём $F_{\text{к}}$:

$m\,(F_{\text{к}}-|Q|E)=M\,(qE-F_{\text{к}})\;\Rightarrow\;F_{\text{к}}(m+M)=E\,(Mq+m|Q|).$

$F_{\text{к}}=\dfrac{E\,(Mq+m|Q|)}{m+M}=\dfrac{18\,(5\cdot10^{-3}\cdot5\cdot10^{-9}+10\cdot10^{-3}\cdot1\cdot10^{-9})}{15\cdot10^{-3}}=4{,}2\cdot10^{-8}\ \text{Н}.$

Теперь из закона Кулона вытащим расстояние: $d=\sqrt{\dfrac{k\,|Q|\,q}{F_{\text{к}}}}=\sqrt{\dfrac{9\cdot10^{9}\cdot1\cdot10^{-9}\cdot5\cdot10^{-9}}{4{,}2\cdot10^{-8}}}\approx1{,}04\ \text{м}.$

Получилось около метра. Проверим разумность: при таком $d$ оба ускорения выходят $\approx4{,}8\cdot10^{-6}$ м/с$^2$ и совпадают — значит, «резинка» Кулона подобрана так, что лёгкий минус и тяжёлый плюс едут синхронно, как и требовалось.