Электростатика — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016995

Дано:

$q = 5$ нКл $= 5\cdot10^{-9}$ Кл; $\;l = 0{,}8$ м; $\;E = 6\cdot10^{5}$ В/м; $\;\alpha = 30^\circ$; $\;\upsilon = 0{,}9$ м/с; $\;g = 10$ м/с$^2$

Найти:

$m$ — масса шарика

Решение:

Представь качели: чтобы они разогнались, кто-то должен подталкивать. Здесь толкатель — электрическое поле: оно тянет заряженный шарик вбок, и тот, как качели, уходит от вертикали и набирает скорость. А сила тяжести, наоборот, тянет вниз и мешает подниматься. Кто кого — посчитаем по энергии.

Нить нерастяжима, шарик движется по дуге окружности радиуса $l$. На него действуют три силы: тяжесть $mg$, сила натяжения нити и постоянная горизонтальная электрическая сила $F = qE$. Натяжение всегда перпендикулярно скорости (направлено вдоль нити), поэтому работы не совершает — учитывать его в энергии не нужно.

Когда нить поворачивается на угол $\alpha$, шарик смещается по горизонтали на $x = l\sin\alpha$ (вдоль поля) и поднимается на высоту $h = l(1-\cos\alpha)$.

Электрическая сила $F=qE$ тянет шарик в ту же сторону, куда он смещается, поэтому совершает положительную работу:

$$A_E = qE\,l\sin\alpha.$$

Сила тяжести совершает отрицательную работу, ведь шарик поднимается:

$$A_{\text{тяж}} = -mg\,l(1-\cos\alpha).$$

По теореме о кинетической энергии сумма работ равна приросту кинетической энергии (стартовали из покоя):

$$qE\,l\sin\alpha - mg\,l(1-\cos\alpha) = \frac{m\upsilon^{2}}{2}.$$

Собираем $m$ в одну сторону и выражаем:

$$m\left(g\,l(1-\cos\alpha) + \frac{\upsilon^{2}}{2}\right) = qE\,l\sin\alpha \;\Rightarrow\; m = \frac{qE\,l\sin\alpha}{g\,l(1-\cos\alpha) + \dfrac{\upsilon^{2}}{2}}.$$

Подставляем числа ($\sin30^\circ = 0{,}5$, $\cos30^\circ \approx 0{,}866$):

$$m = \frac{5\cdot10^{-9}\cdot 6\cdot10^{5}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}5}{10\cdot 0{,}8\cdot(1-0{,}866) + \dfrac{0{,}9^{2}}{2}} = \frac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}072 + 0{,}405} \approx \frac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}477} \approx 8{,}1\cdot10^{-4}\ \text{кг}.$$

Получилось около $8{,}1\cdot10^{-4}$ кг, то есть примерно $0{,}81$ г — действительно «маленький шарик», как и сказано в условии.