Дано:

q = 5 нКл = 5\cdot10^{-9} Кл; \;l = 0{,}8 м; \;E = 6\cdot10^{5} В/м; \;\alpha = 30^\circ; \;\upsilon = 0{,}9 м/с; \;g = 10 м/с^2

Найти:

m — масса шарика

Решение:

Представь качели: чтобы они разогнались, кто-то должен подталкивать. Здесь толкатель — электрическое поле: оно тянет заряженный шарик вбок, и тот, как качели, уходит от вертикали и набирает скорость. А сила тяжести, наоборот, тянет вниз и мешает подниматься. Кто кого — посчитаем по энергии.

Нить нерастяжима, шарик движется по дуге окружности радиуса l. На него действуют три силы: тяжесть mg, сила натяжения нити и постоянная горизонтальная электрическая сила F = qE. Натяжение всегда перпендикулярно скорости (направлено вдоль нити), поэтому работы не совершает — учитывать его в энергии не нужно.

Когда нить поворачивается на угол \alpha, шарик смещается по горизонтали на x = l\sin\alpha (вдоль поля) и поднимается на высоту h = l(1-\cos\alpha).

Электрическая сила F=qE тянет шарик в ту же сторону, куда он смещается, поэтому совершает положительную работу:

A_E = qE\,l\sin\alpha.

Сила тяжести совершает отрицательную работу, ведь шарик поднимается:

A_{\text{тяж}} = -mg\,l(1-\cos\alpha).

По теореме о кинетической энергии сумма работ равна приросту кинетической энергии (стартовали из покоя):

qE\,l\sin\alpha - mg\,l(1-\cos\alpha) = \frac{m\upsilon^{2}}{2}.

Собираем m в одну сторону и выражаем:

m\left(g\,l(1-\cos\alpha) + \frac{\upsilon^{2}}{2}\right) = qE\,l\sin\alpha \;\Rightarrow\; m = \frac{qE\,l\sin\alpha}{g\,l(1-\cos\alpha) + \dfrac{\upsilon^{2}}{2}}.

Подставляем числа (\sin30^\circ = 0{,}5, \cos30^\circ \approx 0{,}866):

m = \frac{5\cdot10^{-9}\cdot 6\cdot10^{5}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}5}{10\cdot 0{,}8\cdot(1-0{,}866) + \dfrac{0{,}9^{2}}{2}} = \frac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}072 + 0{,}405} \approx \frac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}477} \approx 8{,}1\cdot10^{-4}\ \text{кг}.

Получилось около 8{,}1\cdot10^{-4} кг, то есть примерно 0{,}81 г — действительно «маленький шарик», как и сказано в условии.