ID: 00016995
Маленький шарик массой $m$ с зарядом $q = 5$ нКл, подвешенный к потолку на лёгкой шёлковой нити длиной $l = 0{,}8$ м, находится в горизонтальном однородном электростатическом поле с модулем напряжённости $E = 6\cdot10^{5}$ В/м. Шарик отпускают с нулевой начальной скоростью из положения, в котором нить вертикальна. В момент, когда нить образует с вертикалью угол $\alpha = 30^\circ$, модуль скорости шарика $\upsilon = 0{,}9$ м/с. Чему равна масса шарика $m$? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Источник: ФИПИ
$q = 5$ нКл $= 5\cdot10^{-9}$ Кл; $\;l = 0{,}8$ м; $\;E = 6\cdot10^{5}$ В/м; $\;\alpha = 30^\circ$; $\;\upsilon = 0{,}9$ м/с; $\;g = 10$ м/с$^2$
$m$ — масса шарика
Представь качели: чтобы они разогнались, кто-то должен подталкивать. Здесь толкатель — электрическое поле: оно тянет заряженный шарик вбок, и тот, как качели, уходит от вертикали и набирает скорость. А сила тяжести, наоборот, тянет вниз и мешает подниматься. Кто кого — посчитаем по энергии.
Нить нерастяжима, шарик движется по дуге окружности радиуса $l$. На него действуют три силы: тяжесть $mg$, сила натяжения нити и постоянная горизонтальная электрическая сила $F = qE$. Натяжение всегда перпендикулярно скорости (направлено вдоль нити), поэтому работы не совершает — учитывать его в энергии не нужно.
Когда нить поворачивается на угол $\alpha$, шарик смещается по горизонтали на $x = l\sin\alpha$ (вдоль поля) и поднимается на высоту $h = l(1-\cos\alpha)$.
Электрическая сила $F=qE$ тянет шарик в ту же сторону, куда он смещается, поэтому совершает положительную работу:
$$A_E = qE\,l\sin\alpha.$$
Сила тяжести совершает отрицательную работу, ведь шарик поднимается:
$$A_{\text{тяж}} = -mg\,l(1-\cos\alpha).$$
По теореме о кинетической энергии сумма работ равна приросту кинетической энергии (стартовали из покоя):
$$qE\,l\sin\alpha - mg\,l(1-\cos\alpha) = \frac{m\upsilon^{2}}{2}.$$
Собираем $m$ в одну сторону и выражаем:
$$m\left(g\,l(1-\cos\alpha) + \frac{\upsilon^{2}}{2}\right) = qE\,l\sin\alpha \;\Rightarrow\; m = \frac{qE\,l\sin\alpha}{g\,l(1-\cos\alpha) + \dfrac{\upsilon^{2}}{2}}.$$
Подставляем числа ($\sin30^\circ = 0{,}5$, $\cos30^\circ \approx 0{,}866$):
$$m = \frac{5\cdot10^{-9}\cdot 6\cdot10^{5}\cdot 0{,}8\cdot 0{,}5}{10\cdot 0{,}8\cdot(1-0{,}866) + \dfrac{0{,}9^{2}}{2}} = \frac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}072 + 0{,}405} \approx \frac{1{,}2\cdot10^{-3}}{1{,}477} \approx 8{,}1\cdot10^{-4}\ \text{кг}.$$
Получилось около $8{,}1\cdot10^{-4}$ кг, то есть примерно $0{,}81$ г — действительно «маленький шарик», как и сказано в условии.
$m \approx 8{,}1\cdot10^{-4}$ кг $\approx 0{,}81$ г