Дано:

Конденсатор с обкладками, изогнутыми дугой радиусом R; зазор d=\text{const}; заряд иона q=+e=\text{const}; масса иона m=\text{const}; кинетическая энергия увеличивается вдвое: E_{k2}=2E_{k1}.

Найти:

\dfrac{U_2}{U_1} — во сколько раз увеличить напряжение.

Решение:

Представь машину, которая проходит крутой поворот: чтобы её не вынесло наружу, нужна сила, тянущая к центру поворота (центростремительная). Тяжёлый и быстрый автомобиль требует более «цепкой» дороги. Здесь роль такой удерживающей силы играет электрическое поле между изогнутыми обкладками: оно загибает ион ровно по дуге радиуса R.

Между близкими обкладками поле почти однородное: E=\dfrac{U}{d}. На ион действует сила F=qE=\dfrac{qU}{d}, и именно она работает как центростремительная:

\frac{qU}{d}=\frac{mv^2}{R}.

Удобно выразить через кинетическую энергию E_k=\dfrac{mv^2}{2}, тогда mv^2=2E_k:

\frac{qU}{d}=\frac{2E_k}{R}\quad\Rightarrow\quad U=\frac{2E_k\,d}{qR}.

Видно, что при неизменных d, q и R напряжение прямо пропорционально кинетической энергии: U\propto E_k. Возьмём отношение для двух случаев:

\frac{U_2}{U_1}=\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=\frac{2E_{k1}}{E_{k1}}=2.

Значит, чтобы по той же дуге проходили ионы с вдвое большей энергией, напряжение на обкладках надо увеличить в 2 раза. Логично: более энергичный (быстрый) ион «рвётся» по прямой сильнее, и удерживать его на том же повороте нужно вдвое более сильным полем.