Конденсаторы — Задание 25 ЕГЭ по физике №00016993

Дано:

Конденсатор с обкладками, изогнутыми дугой радиусом $R$; зазор $d=\text{const}$; заряд иона $q=+e=\text{const}$; масса иона $m=\text{const}$; кинетическая энергия увеличивается вдвое: $E_{k2}=2E_{k1}$.

Найти:

$\dfrac{U_2}{U_1}$ — во сколько раз увеличить напряжение.

Решение:

Представь машину, которая проходит крутой поворот: чтобы её не вынесло наружу, нужна сила, тянущая к центру поворота (центростремительная). Тяжёлый и быстрый автомобиль требует более «цепкой» дороги. Здесь роль такой удерживающей силы играет электрическое поле между изогнутыми обкладками: оно загибает ион ровно по дуге радиуса $R$.

Между близкими обкладками поле почти однородное: $E=\dfrac{U}{d}$. На ион действует сила $F=qE=\dfrac{qU}{d}$, и именно она работает как центростремительная:

$$\frac{qU}{d}=\frac{mv^2}{R}.$$

Удобно выразить через кинетическую энергию $E_k=\dfrac{mv^2}{2}$, тогда $mv^2=2E_k$:

$$\frac{qU}{d}=\frac{2E_k}{R}\quad\Rightarrow\quad U=\frac{2E_k\,d}{qR}.$$

Видно, что при неизменных $d$, $q$ и $R$ напряжение прямо пропорционально кинетической энергии: $U\propto E_k$. Возьмём отношение для двух случаев:

$$\frac{U_2}{U_1}=\frac{E_{k2}}{E_{k1}}=\frac{2E_{k1}}{E_{k1}}=2.$$

Значит, чтобы по той же дуге проходили ионы с вдвое большей энергией, напряжение на обкладках надо увеличить в $2$ раза. Логично: более энергичный (быстрый) ион «рвётся» по прямой сильнее, и удерживать его на том же повороте нужно вдвое более сильным полем.