ID: 00016987
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС \varepsilon = 12 В и внутренним сопротивлением r = 0{,}8 кОм, конденсатора ёмкостью C = 5 мкФ, резистора с сопротивлением R = 4{,}2 кОм и переключателя \text{П} полярности источника питания. В цепи источник питания с резистором R и конденсатором C соединены через переключатель \text{П}, который в положении 1 подаёт на ветвь с конденсатором одну полярность источника, а в положении 2 — противоположную. Вначале переключатель был в положении 1, конденсатор был полностью заряжен от батареи, и ток в цепи отсутствовал. Какое количество теплоты Q_R выделится в резисторе R за большое время после перевода переключателя в положение 2?
Источник: ФИПИ
\varepsilon=12 В; \;r=0{,}8 кОм; \;C=5 мкФ =5\cdot10^{-6} Ф; \;R=4{,}2 кОм; переключатель меняет полярность источника на ветви с конденсатором.
Q_R — теплоту, выделившуюся в резисторе R.
Представьте качели с грузом: сначала груз держат поднятым с одной стороны (заряженный конденсатор), потом переключатель меняет «верх» и «низ» местами, и груз должен переехать на ту же высоту, но с другого края. Высота в начале и в конце одинаковая — значит, запас энергии конденсатора не изменился. А вся энергия, которую источник потратил на «перекидывание» заряда, ушла в тепло на сопротивлениях r и R — это как трение в шарнире качелей.
Шаг 1. В установившемся режиме тока нет, поэтому на r и R падений напряжения нет, и конденсатор заряжен до полной ЭДС: U_1=\varepsilon, заряд q_1=C\varepsilon.
Шаг 2. После перевода переключателя в положение 2 полярность источника на ветви меняется на обратную. В новом установившемся состоянии конденсатор снова заряжен до U_2=\varepsilon, но с противоположным знаком: q_2=-C\varepsilon.
Шаг 3. Через источник проходит заряд, равный модулю изменения заряда конденсатора: \Delta q=|q_2-q_1|=2C\varepsilon. Работа источника A_{\text{ист}}=\varepsilon\,\Delta q=2C\varepsilon^2.
Шаг 4. Энергия конденсатора W_C=\dfrac{CU^2}{2} в начале и в конце одинакова (модуль напряжения не изменился), поэтому \Delta W_C=0. По закону сохранения энергии всё тепло равно работе источника: Q_{\text{общ}}=A_{\text{ист}}=2C\varepsilon^2.
Шаг 5. Резисторы r и R соединены последовательно, через них течёт один и тот же ток, поэтому тепло делится пропорционально сопротивлениям. На резистор R приходится:
Q_R=2C\varepsilon^2\cdot\frac{R}{R+r}=2\cdot5\cdot10^{-6}\cdot12^2\cdot\frac{4{,}2}{4{,}2+0{,}8}=1440\cdot10^{-6}\cdot0{,}84=1209{,}6\cdot10^{-6}\ \text{Дж}.
Итого на резисторе R выделится Q_R\approx1209{,}6 мкДж. (Внимание: на внутреннем сопротивлении r выделилось бы 2C\varepsilon^2\dfrac{r}{R+r}=230{,}4 мкДж — это другая величина, не путать с искомой.)
Q_R = 1209{,}6 мкДж \;(\approx 1{,}21\cdot10^{-3} Дж)