ID: 00016986
Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС \varepsilon = 9 В и внутренним сопротивлением r = 1 кОм, конденсатора ёмкостью C = 4 мкФ, резистора с сопротивлением R = 4 кОм и переключателя \text{П} полярности источника питания. В цепи источник питания с резистором R и конденсатором C соединены через переключатель \text{П}, который в положении 1 подаёт на ветвь с конденсатором одну полярность источника, а в положении 2 — противоположную. Вначале переключатель был в положении 1, конденсатор был полностью заряжен от батареи, и ток в цепи отсутствовал. Какое количество теплоты Q_R выделится в резисторе R за большое время после перевода переключателя в положение 2?
Источник: ФИПИ
\varepsilon=9 В; \;r=1 кОм; \;C=4 мкФ =4\cdot10^{-6} Ф; \;R=4 кОм; переключатель меняет полярность источника на ветви с конденсатором.
Q_R — теплоту, выделившуюся в резисторе R.
Представьте качели с грузом на одной стороне. Сначала груз подняли влево и держат — это заряженный конденсатор. Потом переключатель резко перекидывает «верх» и «низ» местами, и груз должен переехать на ту же высоту, но с другой стороны. Энергия в начале и в конце одна и та же (высота та же!), а вот пока груз елозил туда-сюда — трение «съело» энергию. У нас роль трения играют резисторы r и R, на них и выделяется тепло. Источник при этом честно «оплачивает» всю перекачку заряда.
Шаг 1. В установившемся режиме ток не течёт, значит на r и R падений напряжения нет, и конденсатор заряжен до полной ЭДС: U_1=\varepsilon. Его заряд q_1=C\varepsilon.
Шаг 2. После перевода переключателя в положение 2 полярность меняется на обратную. По окончании переходного процесса конденсатор снова зарядится до U_2=\varepsilon, но уже с противоположным знаком: q_2=-C\varepsilon.
Шаг 3. Через источник за это время проходит заряд, равный изменению заряда конденсатора по модулю: \Delta q=|q_2-q_1|=|{-}C\varepsilon-C\varepsilon|=2C\varepsilon. Источник совершает работу A_{\text{ист}}=\varepsilon\,\Delta q=2C\varepsilon^2.
Шаг 4. Энергия конденсатора W_C=\dfrac{CU^2}{2} в начале и в конце одинакова (модуль напряжения тот же), поэтому \Delta W_C=0. По закону сохранения энергии вся работа источника ушла в тепло: Q_{\text{общ}}=A_{\text{ист}}-\Delta W_C=2C\varepsilon^2.
Шаг 5. Резисторы r и R включены последовательно (через них в любой момент течёт один и тот же ток), поэтому тепло делится между ними пропорционально сопротивлениям. На резистор R приходится:
Q_R=2C\varepsilon^2\cdot\frac{R}{R+r}=2\cdot4\cdot10^{-6}\cdot9^2\cdot\frac{4}{4+1}=648\cdot10^{-6}\cdot0{,}8=518{,}4\cdot10^{-6}\ \text{Дж}.
Итого на резисторе R выделится Q_R\approx518{,}4 мкДж.
Q_R = 518{,}4 мкДж \;(\approx 5{,}18\cdot10^{-4} Дж)