ID: 00016970
В тепловом двигателе в качестве рабочего тела используется идеальный газ, а цикл состоит из двух изохор $1\text{–}2$ и $3\text{–}4$ и двух адиабат $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$. На $pV$-диаграмме точки расположены так: $1$ и $2$ лежат на левой вертикали (изохора при меньшем объёме $V_{12}$, точка $2$ выше точки $1$); $4$ и $3$ лежат на правой вертикали (изохора при большем объёме $V_{14}\gt V_{12}$, точка $3$ выше точки $4$); адиабаты $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$ соединяют эти изохоры. Известно, что в адиабатических процессах температура газа изменяется в $n=2$ раза (растёт в процессе $4\text{–}1$ и падает в процессе $2\text{–}3$). Найдите КПД цикла.
Источник: ФИПИ
Цикл идеального газа: изохоры $1\text{–}2$ и $3\text{–}4$, адиабаты $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$; в адиабатах температура меняется в $n=2$ раза (в $4\text{–}1$ растёт, в $2\text{–}3$ падает).
$\eta$ — КПД цикла
КПД теплового двигателя — это как зарплата на руки относительно всего, что начислили: из всего полученного тепла $Q_{\text{нагр}}$ полезной работой становится лишь часть, остальное $|Q_{\text{хол}}|$ уходит «в трубу» холодильнику. Формула: $\eta=1-\dfrac{|Q_{\text{хол}}|}{Q_{\text{нагр}}}$.
Сразу отметим адиабаты $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$: адиабата — это процесс без теплообмена ($Q=0$, газ как в термосе). Значит, всё тепло газ получает и отдаёт только на изохорах.
На изохоре объём постоянен, работа не совершается, поэтому всё тепло идёт на изменение внутренней энергии: $Q=\Delta U=\nu C_V\,\Delta T$, где $\nu$ — количество вещества, $C_V$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.
Изохора $1\text{–}2$: точка $2$ выше точки $1$, давление (а с ним и температура) растёт, газ нагревают — это подвод тепла:
$Q_{\text{нагр}}=\nu C_V (T_2-T_1).$
Изохора $3\text{–}4$: давление падает, газ остывает — это отвод тепла:
$|Q_{\text{хол}}|=\nu C_V (T_3-T_4).$
Теперь свяжем температуры через адиабаты. По условию в адиабате $4\text{–}1$ температура растёт в $2$ раза: $T_1=n T_4=2T_4$, откуда $T_4=\dfrac{T_1}{2}$. В адиабате $2\text{–}3$ температура падает в $2$ раза: $T_3=\dfrac{T_2}{n}=\dfrac{T_2}{2}$.
Подставим в количество отданного тепла:
$|Q_{\text{хол}}|=\nu C_V\left(\dfrac{T_2}{2}-\dfrac{T_1}{2}\right)=\dfrac{\nu C_V (T_2-T_1)}{2}=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{2}.$
То есть холодильнику уходит ровно половина полученного тепла. Тогда:
$\eta=1-\dfrac{|Q_{\text{хол}}|}{Q_{\text{нагр}}}=1-\dfrac{1}{2}=0{,}5.$
Красиво, что ответ не зависит ни от объёмов, ни от количества газа, ни от $C_V$ — всё определяется одним числом $n=2$. КПД цикла равен $0{,}5$, или $50\%$.
$\eta=0{,}5=50\%$