Дано:

Цикл идеального газа: изохоры 1\text{–}2 и 3\text{–}4, адиабаты 2\text{–}3 и 4\text{–}1; в адиабатах температура меняется в n=2 раза (в 4\text{–}1 растёт, в 2\text{–}3 падает).

Найти:

\eta — КПД цикла

Решение:

КПД теплового двигателя — это как зарплата на руки относительно всего, что начислили: из всего полученного тепла Q_{\text{нагр}} полезной работой становится лишь часть, остальное |Q_{\text{хол}}| уходит «в трубу» холодильнику. Формула: \eta=1-\dfrac{|Q_{\text{хол}}|}{Q_{\text{нагр}}}.

Сразу отметим адиабаты 2\text{–}3 и 4\text{–}1: адиабата — это процесс без теплообмена (Q=0, газ как в термосе). Значит, всё тепло газ получает и отдаёт только на изохорах.

На изохоре объём постоянен, работа не совершается, поэтому всё тепло идёт на изменение внутренней энергии: Q=\Delta U=\nu C_V\,\Delta T, где \nu — количество вещества, C_V — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Изохора 1\text{–}2: точка 2 выше точки 1, давление (а с ним и температура) растёт, газ нагревают — это подвод тепла:

Q_{\text{нагр}}=\nu C_V (T_2-T_1).

Изохора 3\text{–}4: давление падает, газ остывает — это отвод тепла:

|Q_{\text{хол}}|=\nu C_V (T_3-T_4).

Теперь свяжем температуры через адиабаты. По условию в адиабате 4\text{–}1 температура растёт в 2 раза: T_1=n T_4=2T_4, откуда T_4=\dfrac{T_1}{2}. В адиабате 2\text{–}3 температура падает в 2 раза: T_3=\dfrac{T_2}{n}=\dfrac{T_2}{2}.

Подставим в количество отданного тепла:

|Q_{\text{хол}}|=\nu C_V\left(\dfrac{T_2}{2}-\dfrac{T_1}{2}\right)=\dfrac{\nu C_V (T_2-T_1)}{2}=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{2}.

То есть холодильнику уходит ровно половина полученного тепла. Тогда:

\eta=1-\dfrac{|Q_{\text{хол}}|}{Q_{\text{нагр}}}=1-\dfrac{1}{2}=0{,}5.

Красиво, что ответ не зависит ни от объёмов, ни от количества газа, ни от C_V — всё определяется одним числом n=2. КПД цикла равен 0{,}5, или 50\%.