ID: 00016969
В большом помещении с размерами $6\times10\times3\ \text{м}^3$ в зимние холода при температуре $t_1$ парциальное давление водяного пара в воздухе составляло $p_{\text{п}1}=700$ Па, а относительная влажность воздуха равнялась при этом $\varphi_1=50\%$. После обогрева помещения температура в нём поднялась до значения $t_2=25\,^\circ\text{C}$, а относительная влажность снизилась до $\varphi_2=25\%$. Используя приведённый график зависимости давления насыщенных паров воды от температуры (по горизонтальной оси — температура в градусах Цельсия от $0$ до $45$, по вертикальной — давление насыщенного пара в кПа от $0$ до $8$), найдите, как и на сколько в результате обогрева изменилась масса $m$ паров воды в данном помещении.
Источник: ФИПИ
$V=6\times10\times3=180\ \text{м}^3$; $\;p_{\text{п}1}=700$ Па; $\;\varphi_1=50\%=0{,}5$; $\;t_2=25\,^\circ\text{C}$, $T_2=298$ К; $\;\varphi_2=25\%=0{,}25$; $\;M=0{,}018$ кг/моль; $\;R=8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$
$\Delta m$ — как и на сколько изменилась масса пара
Влажность — это как стакан, который заполнен водой не доверху. «Насыщенный пар» — это полный до краёв стакан при данной температуре: больше пара воздух уже не удержит. Относительная влажность $\varphi$ показывает, на сколько процентов стакан налит: $\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}$, где $p_{\text{п}}$ — реальное давление пара, $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного пара (полный стакан) при этой температуре.
Сначала разберёмся, что было до обогрева. Реальное давление пара $p_{\text{п}1}=700$ Па — это половина от полного ($\varphi_1=0{,}5$). Значит, «полный стакан» при $t_1$:
$p_{\text{н}1}=\dfrac{p_{\text{п}1}}{\varphi_1}=\dfrac{700}{0{,}5}=1400$ Па $=1{,}4$ кПа.
По графику находим, какой температуре отвечает насыщение $1{,}4$ кПа: это примерно $t_1\approx12\,^\circ\text{C}$, то есть $T_1\approx285$ К.
Теперь после обогрева. Температура $t_2=25\,^\circ\text{C}$; по графику давление насыщенного пара при $25\,^\circ\text{C}$ равно $p_{\text{н}2}\approx3{,}2$ кПа $=3200$ Па. Стакан налит на четверть ($\varphi_2=0{,}25$), поэтому реальное давление пара:
$p_{\text{п}2}=\varphi_2\,p_{\text{н}2}=0{,}25\cdot3200=800$ Па.
Пар — это газ, поэтому его масса считается по уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{M}RT$, откуда $m=\dfrac{pVM}{RT}$. Объём комнаты $V$ и молярная масса воды $M$ не меняются, меняются давление пара и температура. Масса пара до и после:
$m_1=\dfrac{p_{\text{п}1}VM}{RT_1}=\dfrac{700\cdot180\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot285}\approx0{,}96\ \text{кг}$,
$m_2=\dfrac{p_{\text{п}2}VM}{RT_2}=\dfrac{800\cdot180\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot298}\approx1{,}05\ \text{кг}$.
Изменение массы:
$\Delta m=m_2-m_1\approx1{,}05-0{,}96=0{,}09\ \text{кг}\approx90\ \text{г}.$
Получилось $\Delta m\gt 0$: масса пара выросла. На первый взгляд странно — влажность ведь упала с $50\%$ до $25\%$. Но проценты — это доля от «полного стакана», а сам стакан после нагрева стал гораздо больше (тёплый воздух удерживает куда больше влаги). Поэтому даже четверть от большого стакана оказалась тяжелее половины от маленького: воды в воздухе стало больше примерно на $90$ г.
Масса паров воды увеличилась примерно на $\Delta m\approx0{,}09$ кг $\approx90$ г.