ID: 00016962
В цикле $1\to2\to3\to1$, показанном на $pV$-диаграмме, $\nu = 4$ моль разреженного гелия получает от нагревателя количество теплоты $Q_{\text{нагр}} = 120$ кДж. Найдите температуру $T_2$ гелия в состоянии 2.
По осям $pV$-диаграммы отложены: по вертикали — давление с отметками $p_0$ и $3p_0$, по горизонтали — объём с отметками $V_0$ и $4V_0$. Вершины цикла: состояние 1 — $(V_0;\,p_0)$, состояние 2 — $(V_0;\,2p_0)$, состояние 3 — $(4V_0;\,3p_0)$. Участок $1\to2$ — вертикальный (изохора при $V_0$, давление растёт от $p_0$ до $2p_0$); участок $2\to3$ — прямая, идущая вверх-вправо к точке $(4V_0;\,3p_0)$; участок $3\to1$ — прямая, возвращающая газ в точку $(V_0;\,p_0)$.
Источник: ФИПИ
$\nu = 4$ моль; гелий — одноатомный газ ($C_V = \tfrac{3}{2}R$); $Q_{\text{нагр}} = 120$ кДж $= 1{,}2\cdot10^5$ Дж. Состояния по диаграмме: $1\,(V_0;\,p_0)$, $2\,(V_0;\,2p_0)$, $3\,(4V_0;\,3p_0)$.
$T_2$ — температуру в состоянии 2.
«Теплота от нагревателя» — это как деньги, которые в кошелёк только кладут: считаем лишь те участки цикла, где газ тепло получает (где $Q\gt 0$), а где отдаёт — не вычитаем. Сложив все «приходы», приравняем их к $Q_{\text{нагр}}$ и так узнаем масштаб $p_0V_0$, а через него — температуру.
Обозначим $x = p_0V_0$. Для одноатомного газа внутренняя энергия $U = \tfrac{3}{2}\nu RT = \tfrac{3}{2}pV$, а температура любого состояния по уравнению Менделеева — Клапейрона $T = \dfrac{pV}{\nu R}$. Значит $T_1=\dfrac{x}{\nu R}$, $T_2=\dfrac{2x}{\nu R}$, $T_3=\dfrac{12x}{\nu R}$.
Участок 1→2 (изохора, $V=V_0$): работа $W_{12}=0$, тепло идёт только на нагрев. По первому закону термодинамики $Q_{12}=\Delta U_{12}=\tfrac{3}{2}(2p_0-p_0)V_0=\tfrac{3}{2}x\gt 0$ — газ тепло получает.
Участок 2→3 (прямая от $(V_0;2p_0)$ к $(4V_0;3p_0)$): работа газа — площадь под графиком (трапеция) $W_{23}=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}\,(4V_0-V_0)=\dfrac{5p_0}{2}\cdot3V_0=7{,}5x$. Изменение энергии $\Delta U_{23}=\tfrac{3}{2}(3p_0\cdot4V_0-2p_0\cdot V_0)=\tfrac{3}{2}(12-2)x=15x$. Тогда $Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=15x+7{,}5x=22{,}5x\gt 0$. Проверка показывает, что на всём этом отрезке $\delta Q\gt 0$, то есть газ тепло получает на всём участке.
Участок 3→1 (прямая, сжатие): и энергия падает ($\Delta U_{31}=\tfrac{3}{2}(1-12)x=-16{,}5x$), и газ работу не совершает, а над ним её совершают ($W_{31}=\dfrac{3p_0+p_0}{2}(V_0-4V_0)=-6x$), значит $Q_{31}=-16{,}5x-6x=-22{,}5x\lt 0$ — здесь газ тепло только отдаёт, в приход не идёт.
Складываем тепло, полученное от нагревателя (только положительные участки):
$Q_{\text{нагр}} = Q_{12}+Q_{23} = 1{,}5x + 22{,}5x = 24x.$
Отсюда $x = p_0V_0 = \dfrac{Q_{\text{нагр}}}{24} = \dfrac{1{,}2\cdot10^5}{24} = 5000$ Дж. Наконец, температура во втором состоянии:
$T_2 = \dfrac{2x}{\nu R} = \dfrac{2\cdot5000}{4\cdot8{,}31} = \dfrac{10000}{33{,}24} \approx 301\ \text{К}.$
Получилось около $301$ К — примерно комнатная температура, что для давления $2p_0$ и объёма $V_0$ выглядит правдоподобно.
$T_2 \approx 301$ К