ID: 00016962
В цикле 1\to2\to3\to1, показанном на pV-диаграмме, \nu = 4 моль разреженного гелия получает от нагревателя количество теплоты Q_{\text{нагр}} = 120 кДж. Найдите температуру T_2 гелия в состоянии 2.
По осям pV-диаграммы отложены: по вертикали — давление с отметками p_0 и 3p_0, по горизонтали — объём с отметками V_0 и 4V_0. Вершины цикла: состояние 1 — (V_0;\,p_0), состояние 2 — (V_0;\,2p_0), состояние 3 — (4V_0;\,3p_0). Участок 1\to2 — вертикальный (изохора при V_0, давление растёт от p_0 до 2p_0); участок 2\to3 — прямая, идущая вверх-вправо к точке (4V_0;\,3p_0); участок 3\to1 — прямая, возвращающая газ в точку (V_0;\,p_0).
Источник: ФИПИ
\nu = 4 моль; гелий — одноатомный газ (C_V = \tfrac{3}{2}R); Q_{\text{нагр}} = 120 кДж = 1{,}2\cdot10^5 Дж. Состояния по диаграмме: 1\,(V_0;\,p_0), 2\,(V_0;\,2p_0), 3\,(4V_0;\,3p_0).
T_2 — температуру в состоянии 2.
«Теплота от нагревателя» — это как деньги, которые в кошелёк только кладут: считаем лишь те участки цикла, где газ тепло получает (где Q\gt 0), а где отдаёт — не вычитаем. Сложив все «приходы», приравняем их к Q_{\text{нагр}} и так узнаем масштаб p_0V_0, а через него — температуру.
Обозначим x = p_0V_0. Для одноатомного газа внутренняя энергия U = \tfrac{3}{2}\nu RT = \tfrac{3}{2}pV, а температура любого состояния по уравнению Менделеева — Клапейрона T = \dfrac{pV}{\nu R}. Значит T_1=\dfrac{x}{\nu R}, T_2=\dfrac{2x}{\nu R}, T_3=\dfrac{12x}{\nu R}.
Участок 1→2 (изохора, V=V_0): работа W_{12}=0, тепло идёт только на нагрев. По первому закону термодинамики Q_{12}=\Delta U_{12}=\tfrac{3}{2}(2p_0-p_0)V_0=\tfrac{3}{2}x\gt 0 — газ тепло получает.
Участок 2→3 (прямая от (V_0;2p_0) к (4V_0;3p_0)): работа газа — площадь под графиком (трапеция) W_{23}=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}\,(4V_0-V_0)=\dfrac{5p_0}{2}\cdot3V_0=7{,}5x. Изменение энергии \Delta U_{23}=\tfrac{3}{2}(3p_0\cdot4V_0-2p_0\cdot V_0)=\tfrac{3}{2}(12-2)x=15x. Тогда Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=15x+7{,}5x=22{,}5x\gt 0. Проверка показывает, что на всём этом отрезке \delta Q\gt 0, то есть газ тепло получает на всём участке.
Участок 3→1 (прямая, сжатие): и энергия падает (\Delta U_{31}=\tfrac{3}{2}(1-12)x=-16{,}5x), и газ работу не совершает, а над ним её совершают (W_{31}=\dfrac{3p_0+p_0}{2}(V_0-4V_0)=-6x), значит Q_{31}=-16{,}5x-6x=-22{,}5x\lt 0 — здесь газ тепло только отдаёт, в приход не идёт.
Складываем тепло, полученное от нагревателя (только положительные участки):
Q_{\text{нагр}} = Q_{12}+Q_{23} = 1{,}5x + 22{,}5x = 24x.
Отсюда x = p_0V_0 = \dfrac{Q_{\text{нагр}}}{24} = \dfrac{1{,}2\cdot10^5}{24} = 5000 Дж. Наконец, температура во втором состоянии:
T_2 = \dfrac{2x}{\nu R} = \dfrac{2\cdot5000}{4\cdot8{,}31} = \dfrac{10000}{33{,}24} \approx 301\ \text{К}.
Получилось около 301 К — примерно комнатная температура, что для давления 2p_0 и объёма V_0 выглядит правдоподобно.
T_2 \approx 301 К