ID: 00016960
В закрытый теплопроводящий цилиндр объёмом V = 10 л с гладкими внутренними стенками вставлен тонкий тяжёлый поршень, находящийся вначале, при горизонтальном положении цилиндра, около его левой крышки. Внутренний объём цилиндра сообщается с сухим атмосферным воздухом, находящимся при нормальных условиях (p_0 = 10^5 Па), через тонкую трубку с открытым краном, который может отсоединять цилиндр от атмосферы. В исходном положении поршень находится чуть левее отверстия трубки, поэтому весь воздух правее поршня (практически весь объём цилиндра) сообщается с атмосферой и находится под давлением p_0.
В некоторый момент цилиндр ставят в вертикальное положение поршнем наверху. Поршень опускается вниз, сразу перекрывая собой отверстие трубки и сжимая запертый под ним воздух; пространство над поршнем при этом остаётся сообщённым с атмосферой через трубку. После установления равновесия поршень находится на высоте \dfrac{l}{2} над дном цилиндра (высота цилиндра l = 0{,}9 м).
Затем кран перекрывают (запирая и воздух над поршнем) и снова кладут цилиндр горизонтально. На какое расстояние \Delta l сдвинется поршень после нового установления равновесия?
На рисунке к задаче изображён цилиндр (сначала горизонтальный, у левой крышки — тонкий поршень) и стрелка ускорения свободного падения \vec{g}, направленная вниз.
Источник: ФИПИ
V = 10 л; \;l = 0{,}9 м; \;p_0 = 10^5 Па (нормальные условия); цилиндр теплопроводящий (T = T_0 = \text{const}), стенки гладкие; высота поршня над дном в вертикальном положении h = \dfrac{l}{2}.
\Delta l — смещение поршня после возврата в горизонтальное положение.
Цилиндр — как закрытый шприц с тяжёлым подвижным дном: пока «дырочка» (трубка) открыта, воздух свободно дышит с улицей, и давление в нём уличное. Стенки тёплые, тепло мгновенно перетекает, поэтому температура воздуха всё время одна и та же — значит для каждой запертой порции работает простой закон: давление во столько раз больше, во сколько раз короче столбик (pV=\text{const}, закон Бойля — Мариотта).
Пусть площадь поршня S, тогда V = Sl. Сначала, лёжа с открытым краном, воздух под будущим поршнем занимает весь цилиндр при уличном давлении: его состояние p_0,\;V.
Поставили вертикально, поршень упал и запер трубку, сжав воздух под собой до высоты h=\dfrac{l}{2}, то есть до объёма V_1 = S\cdot\dfrac{l}{2} = \dfrac{V}{2}. По закону Бойля для этой нижней порции (газ A):
p_0 V = p_1\,\dfrac{V}{2}\;\Rightarrow\;p_1 = 2p_0.
Заодно это даёт «вес» поршня. Поршень наверху держит снизу газ A, а сверху давят атмосфера (через трубку) и тяжесть поршня: p_1 S = p_0 S + mg, откуда \dfrac{mg}{S} = p_1 - p_0 = p_0.
Теперь перекрыли кран: над поршнем тоже заперлась порция воздуха (газ B). В этот момент газ B имеет уличное давление p_0 и длину l - \dfrac{l}{2} = \dfrac{l}{2}, а газ A — давление 2p_0 и длину \dfrac{l}{2}.
Кладём цилиндр горизонтально. Теперь тяжесть поршня направлена поперёк и на давления не влияет, поэтому в равновесии давления слева и справа равны: p_A = p_B. Пусть длины столбиков стали l_A и l_B, причём l_A + l_B = l. Закон Бойля для каждой порции:
2p_0\cdot\dfrac{l}{2} = p_A l_A\;\Rightarrow\;p_A = \dfrac{p_0 l}{l_A};\qquad p_0\cdot\dfrac{l}{2} = p_B l_B\;\Rightarrow\;p_B = \dfrac{p_0 l}{2 l_B}.
Приравниваем давления: \dfrac{p_0 l}{l_A} = \dfrac{p_0 l}{2 l_B}\;\Rightarrow\;l_A = 2 l_B. Вместе с l_A + l_B = l получаем l_B = \dfrac{l}{3},\;l_A = \dfrac{2l}{3}.
Нижний столбик A удлинился с \dfrac{l}{2} до \dfrac{2l}{3}, на столько же сдвинулся поршень:
\Delta l = \dfrac{2l}{3} - \dfrac{l}{2} = \dfrac{4l - 3l}{6} = \dfrac{l}{6} = \dfrac{0{,}9}{6} = 0{,}15\ \text{м} = 15\ \text{см}.
Итак, поршень переедет на 15 см в сторону бывшей нижней порции: более сжатый газ A «распрямляется» и толкает поршень.
\Delta l = \dfrac{l}{6} = 0{,}15 м = 15 см