ID: 00016960
В закрытый теплопроводящий цилиндр объёмом $V = 10$ л с гладкими внутренними стенками вставлен тонкий тяжёлый поршень, находящийся вначале, при горизонтальном положении цилиндра, около его левой крышки. Внутренний объём цилиндра сообщается с сухим атмосферным воздухом, находящимся при нормальных условиях ($p_0 = 10^5$ Па), через тонкую трубку с открытым краном, который может отсоединять цилиндр от атмосферы. В исходном положении поршень находится чуть левее отверстия трубки, поэтому весь воздух правее поршня (практически весь объём цилиндра) сообщается с атмосферой и находится под давлением $p_0$.
В некоторый момент цилиндр ставят в вертикальное положение поршнем наверху. Поршень опускается вниз, сразу перекрывая собой отверстие трубки и сжимая запертый под ним воздух; пространство над поршнем при этом остаётся сообщённым с атмосферой через трубку. После установления равновесия поршень находится на высоте $\dfrac{l}{2}$ над дном цилиндра (высота цилиндра $l = 0{,}9$ м).
Затем кран перекрывают (запирая и воздух над поршнем) и снова кладут цилиндр горизонтально. На какое расстояние $\Delta l$ сдвинется поршень после нового установления равновесия?
На рисунке к задаче изображён цилиндр (сначала горизонтальный, у левой крышки — тонкий поршень) и стрелка ускорения свободного падения $\vec{g}$, направленная вниз.
Источник: ФИПИ
$V = 10$ л; $\;l = 0{,}9$ м; $\;p_0 = 10^5$ Па (нормальные условия); цилиндр теплопроводящий ($T = T_0 = \text{const}$), стенки гладкие; высота поршня над дном в вертикальном положении $h = \dfrac{l}{2}$.
$\Delta l$ — смещение поршня после возврата в горизонтальное положение.
Цилиндр — как закрытый шприц с тяжёлым подвижным дном: пока «дырочка» (трубка) открыта, воздух свободно дышит с улицей, и давление в нём уличное. Стенки тёплые, тепло мгновенно перетекает, поэтому температура воздуха всё время одна и та же — значит для каждой запертой порции работает простой закон: давление во столько раз больше, во сколько раз короче столбик ($pV=\text{const}$, закон Бойля — Мариотта).
Пусть площадь поршня $S$, тогда $V = Sl$. Сначала, лёжа с открытым краном, воздух под будущим поршнем занимает весь цилиндр при уличном давлении: его состояние $p_0,\;V$.
Поставили вертикально, поршень упал и запер трубку, сжав воздух под собой до высоты $h=\dfrac{l}{2}$, то есть до объёма $V_1 = S\cdot\dfrac{l}{2} = \dfrac{V}{2}$. По закону Бойля для этой нижней порции (газ A):
$p_0 V = p_1\,\dfrac{V}{2}\;\Rightarrow\;p_1 = 2p_0.$
Заодно это даёт «вес» поршня. Поршень наверху держит снизу газ A, а сверху давят атмосфера (через трубку) и тяжесть поршня: $p_1 S = p_0 S + mg$, откуда $\dfrac{mg}{S} = p_1 - p_0 = p_0$.
Теперь перекрыли кран: над поршнем тоже заперлась порция воздуха (газ B). В этот момент газ B имеет уличное давление $p_0$ и длину $l - \dfrac{l}{2} = \dfrac{l}{2}$, а газ A — давление $2p_0$ и длину $\dfrac{l}{2}$.
Кладём цилиндр горизонтально. Теперь тяжесть поршня направлена поперёк и на давления не влияет, поэтому в равновесии давления слева и справа равны: $p_A = p_B$. Пусть длины столбиков стали $l_A$ и $l_B$, причём $l_A + l_B = l$. Закон Бойля для каждой порции:
$2p_0\cdot\dfrac{l}{2} = p_A l_A\;\Rightarrow\;p_A = \dfrac{p_0 l}{l_A};\qquad p_0\cdot\dfrac{l}{2} = p_B l_B\;\Rightarrow\;p_B = \dfrac{p_0 l}{2 l_B}.$
Приравниваем давления: $\dfrac{p_0 l}{l_A} = \dfrac{p_0 l}{2 l_B}\;\Rightarrow\;l_A = 2 l_B$. Вместе с $l_A + l_B = l$ получаем $l_B = \dfrac{l}{3},\;l_A = \dfrac{2l}{3}.$
Нижний столбик A удлинился с $\dfrac{l}{2}$ до $\dfrac{2l}{3}$, на столько же сдвинулся поршень:
$\Delta l = \dfrac{2l}{3} - \dfrac{l}{2} = \dfrac{4l - 3l}{6} = \dfrac{l}{6} = \dfrac{0{,}9}{6} = 0{,}15\ \text{м} = 15\ \text{см}.$
Итак, поршень переедет на $15$ см в сторону бывшей нижней порции: более сжатый газ A «распрямляется» и толкает поршень.
$\Delta l = \dfrac{l}{6} = 0{,}15$ м $= 15$ см