ID: 00016959
С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс $1\text{–}2\text{–}3\text{–}4\text{–}1$ (см. рисунок в координатах $p$–$V$). Цикл состоит из изобары, двух адиабат и изохоры.
На рисунке цикл идёт по часовой стрелке: участок $1\text{–}2$ — верхняя горизонтальная линия (изобара, объём растёт при постоянном давлении); участок $2\text{–}3$ — адиабата (давление и температура падают, газ расширяется); участок $3\text{–}4$ — короткий вертикальный участок справа (изохора, объём постоянен, давление падает); участок $4\text{–}1$ — адиабата (газ сжимается, возвращаясь в начальное состояние).
КПД цикла $\eta = 20\,\%$. Максимальная температура на изобаре $t_{\max} = 322\,^\circ\text{C}$, минимальная — $t_{\min} = 22\,^\circ\text{C}$. Найдите количество теплоты $Q$, которое газ отдаёт за цикл.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; одноатомный газ; цикл $1\text{–}2\text{–}3\text{–}4\text{–}1$ (изобара $1\text{–}2$, адиабаты $2\text{–}3$ и $4\text{–}1$, изохора $3\text{–}4$); $\eta=20\,\%=0{,}2$; $t_{\max}=322\,^\circ\text{C}$, то есть $T_2=595$ К; $t_{\min}=22\,^\circ\text{C}$, то есть $T_1=295$ К.
$Q_{\text{отд}}$ — теплоту, отданную газом за цикл.
Тепловую машину удобно представить как кассу магазина за смену: в кассу приходит выручка (полученное тепло $Q_{\text{пол}}$), часть денег магазин оставляет себе как прибыль (полезная работа $W$), а остальное уходит на расходы — обратно «в мир» (отданное тепло $Q_{\text{отд}}$). Баланс кассы за полный цикл: $Q_{\text{пол}}=W+Q_{\text{отд}}$, ведь газ вернулся в исходное состояние и его внутренняя энергия не изменилась.
Сначала разберёмся, где тепло приходит, а где уходит. На двух адиабатах ($2\text{–}3$ и $4\text{–}1$) теплообмена нет вообще: $Q=0$. Остаются изобара и изохора. На изобаре $1\text{–}2$ температура растёт от $T_1$ до $T_2$ — газ нагревают, значит здесь тепло получают. На изохоре $3\text{–}4$ давление падает — газ охлаждают, значит здесь тепло отдают.
Полученное тепло — это нагрев одного моля одноатомного газа при постоянном давлении (молярная теплоёмкость $C_p=\tfrac{5}{2}R$). По графику крайние температуры изобары и есть $t_{\max}$ и $t_{\min}$:
$$Q_{\text{пол}}=\frac{5}{2}\,\nu R\,(T_2-T_1)=\frac{5}{2}\cdot1\cdot8{,}31\cdot(595-295)=\frac{5}{2}\cdot8{,}31\cdot300\approx 6232{,}5\ \text{Дж}.$$
Теперь вспомним смысл КПД: это доля выручки, оставшаяся прибылью, $\eta=\dfrac{W}{Q_{\text{пол}}}$. Отсюда полезная работа за цикл:
$$W=\eta\,Q_{\text{пол}}=0{,}2\cdot6232{,}5\approx 1246{,}5\ \text{Дж}.$$
Остаётся вычесть прибыль из выручки — получим «расходы», то есть отданное тепло:
$$Q_{\text{отд}}=Q_{\text{пол}}-W=Q_{\text{пол}}\,(1-\eta)=6232{,}5\cdot0{,}8\approx 4986\ \text{Дж}.$$
Итого за цикл газ отдаёт холодильнику около $4986$ Дж $\approx 4{,}99$ кДж теплоты.
$Q_{\text{отд}} = 4986$ Дж $\approx 4{,}99$ кДж