ID: 00016957
Над одним молем идеального одноатомного газа провели процесс $1\text{–}2\text{–}3$, график которого приведён на рисунке в координатах $V/V_1$ и $p/p_1$, где $V_1 = 1\ \text{м}^3$ и $p_1 = 2\cdot10^5\ \text{Па}$ — объём и давление газа в состоянии $1$.
График состоит из двух прямолинейных участков. Сначала газ идёт горизонтально слева направо из точки $1$ с координатами $\left(V/V_1;\,p/p_1\right)=(1;\,1)$ в точку $2$ с координатами $(4;\,1)$ — давление постоянно, объём растёт (изобарное расширение). Затем газ идёт вертикально вверх из точки $2$ в точку $3$ с координатами $(4;\,3)$ — объём постоянен, давление растёт (изохорный нагрев).
Найдите количество теплоты, сообщённое газу в данном процессе $1\text{–}2\text{–}3$.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; одноатомный газ; $V_1=1\ \text{м}^3$; $p_1=2\cdot10^5\ \text{Па}$.
По графику: участок $1\text{–}2$ — изобара $p=p_1$, объём $V_1\to 4V_1$; участок $2\text{–}3$ — изохора $V=4V_1$, давление $p_1\to 3p_1$.
$Q$ — теплоту, сообщённую газу за весь процесс $1\text{–}2\text{–}3$.
Представь газ как кошелёк, в который кладут деньги двумя путями: можно «нагреть» — добавить теплоту $Q$, и тогда часть денег осядет внутри (вырастет внутренняя энергия $\Delta U$), а часть газ потратит, толкая поршень наружу (совершит работу $W$). Это и есть первый закон термодинамики: $Q=\Delta U+W$. Посчитаем по очереди для каждого участка и сложим.
Участок 1–2 (изобара, давление держится постоянным). Газ расширяется, толкая поршень, поэтому работает сам. Работа газа равна давлению на изменение объёма:
$$W_{12}=p_1\,(4V_1-V_1)=3p_1V_1=3\cdot2\cdot10^5\cdot1=6\cdot10^5\ \text{Дж}.$$
Внутренняя энергия одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}pV$, поэтому её изменение удобно считать как $\Delta U=\dfrac{3}{2}\,\Delta(pV)$:
$$\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\,(p_1\cdot4V_1-p_1\cdot V_1)=\frac{3}{2}\cdot3p_1V_1=9\cdot10^5\ \text{Дж}.$$
Тогда на этом участке подведено тепла: $Q_{12}=\Delta U_{12}+W_{12}=9\cdot10^5+6\cdot10^5=15\cdot10^5\ \text{Дж}.$
Участок 2–3 (изохора, объём заперт). Поршень стоит, газ ничего не толкает, поэтому работа $W_{23}=0$, и всё подведённое тепло идёт только на нагрев — в «осадок»:
$$Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\,(3p_1\cdot4V_1-p_1\cdot4V_1)=\frac{3}{2}\cdot4V_1\cdot2p_1=12\,p_1V_1=12\cdot2\cdot10^5=24\cdot10^5\ \text{Дж}.$$
Суммируем. Газ получил тепло на обоих участках (внутренняя энергия везде росла, работа неотрицательна), значит просто складываем:
$$Q=Q_{12}+Q_{23}=15\cdot10^5+24\cdot10^5=39\cdot10^5\ \text{Дж}=3{,}9\cdot10^6\ \text{Дж}.$$
Итого газу сообщили около $3900$ кДж теплоты.
$Q = 3{,}9\cdot10^6$ Дж $= 3900$ кДж