ID: 00016952
Над одноатомным идеальным газом проводится циклический процесс $1\!-\!2\!-\!3$, показанный на $p\!-\!V$ диаграмме. Геометрия графика такова: точка $1$ имеет координаты $(V_0;\,p_0)$; участок $1\!-\!2$ — прямая, лежащая на луче, выходящем из начала координат (то есть на ней $\dfrac{p}{V}=\text{const}$), и приходит в точку $2$ с координатами $(2V_0;\,2p_0)$; участок $2\!-\!3$ — вертикальный отрезок (изохора при $V=2V_0$), давление падает от точки $2$ до точки $3$; участок $3\!-\!1$ — адиабата, возвращающая газ из точки $3$ $(2V_0;\,p_3)$ в точку $1$.
На адиабате $3\!-\!1$ внешние силы сжимают газ, совершая работу $A_{31}=370$ Дж. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно $|Q_{\text{хол}}|=3370$ Дж. Количество вещества газа в ходе процесса не меняется. Найдите работу газа $A_{12}$ на участке $1\!-\!2$.
Источник: ФИПИ
$\nu=\text{const}$, одноатомный идеальный газ; точка $1$: $(V_0;\,p_0)$; точка $2$: $(2V_0;\,2p_0)$; участок $1\!-\!2$ — прямая через начало координат; участок $2\!-\!3$ — изохора при $V=2V_0$; участок $3\!-\!1$ — адиабата; $A_{31}=370$ Дж (работа внешних сил над газом при сжатии); $|Q_{\text{хол}}|=3370$ Дж.
$A_{12}$ — работу газа на участке $1\!-\!2$.
Цикл — это «качели энергии»: на одном участке газ берёт теплоту у нагревателя и совершает работу, на другом отдаёт лишнее холодильнику, а адиабата — это «глухой» участок, где теплообмена нет вовсе, как термос. За полный круг газ возвращается в исходное состояние, поэтому его внутренняя энергия меняется на ноль.
Внутренняя энергия одноатомного газа: $U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV$. Посчитаем её в трёх точках:
$U_1=\dfrac{3}{2}p_0V_0,\qquad U_2=\dfrac{3}{2}\,(2p_0)(2V_0)=6p_0V_0,\qquad U_3=\dfrac{3}{2}p_3\,(2V_0)=3p_3V_0.$
Адиабата $3\!-\!1$. Теплообмена нет ($Q_{31}=0$), поэтому по первому закону термодинамики вся работа идёт за счёт внутренней энергии. Внешние силы сжимают газ и совершают над ним $A_{31}=370$ Дж, значит сам газ совершает работу $-370$ Дж, и его внутренняя энергия растёт:
$U_1-U_3=A_{31}=370\ \text{Дж}\;\Rightarrow\;\dfrac{3}{2}p_0V_0-3p_3V_0=370.\quad(1)$
Изохора $2\!-\!3$. Объём постоянен, работа равна нулю, поэтому теплота равна изменению внутренней энергии. Давление падает, газ остывает и отдаёт теплоту холодильнику. Именно на этом участке газ сбрасывает теплоту, значит $|Q_{\text{хол}}|=|Q_{23}|$:
$|Q_{23}|=U_2-U_3=6p_0V_0-3p_3V_0=3370.\quad(2)$
Вычтем $(1)$ из $(2)$ — слагаемое $3p_3V_0$ уйдёт:
$\left(6p_0V_0-3p_3V_0\right)-\left(\dfrac{3}{2}p_0V_0-3p_3V_0\right)=3370-370,$
$6p_0V_0-\dfrac{3}{2}p_0V_0=3000\;\Rightarrow\;\dfrac{9}{2}p_0V_0=3000\;\Rightarrow\;p_0V_0=\dfrac{2000}{3}\approx 666{,}7\ \text{Дж}.$
Работа на участке $1\!-\!2$. Это прямая на $p\!-\!V$ диаграмме, поэтому работа газа равна площади трапеции под ней (полусумма оснований на ширину):
$A_{12}=\dfrac{p_1+p_2}{2}\,(V_2-V_1)=\dfrac{p_0+2p_0}{2}\,(2V_0-V_0)=\dfrac{3}{2}p_0V_0.$
Подставляем найденное $p_0V_0$:
$A_{12}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2000}{3}=1000\ \text{Дж}.$
Итак, на участке $1\!-\!2$ газ совершил работу $1000$ Дж.
$A_{12}=1000$ Дж