ID: 00016952
Над одноатомным идеальным газом проводится циклический процесс 1\!-\!2\!-\!3, показанный на p\!-\!V диаграмме. Геометрия графика такова: точка 1 имеет координаты (V_0;\,p_0); участок 1\!-\!2 — прямая, лежащая на луче, выходящем из начала координат (то есть на ней \dfrac{p}{V}=\text{const}), и приходит в точку 2 с координатами (2V_0;\,2p_0); участок 2\!-\!3 — вертикальный отрезок (изохора при V=2V_0), давление падает от точки 2 до точки 3; участок 3\!-\!1 — адиабата, возвращающая газ из точки 3 (2V_0;\,p_3) в точку 1.
На адиабате 3\!-\!1 внешние силы сжимают газ, совершая работу A_{31}=370 Дж. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Q_{\text{хол}}|=3370 Дж. Количество вещества газа в ходе процесса не меняется. Найдите работу газа A_{12} на участке 1\!-\!2.
Источник: ФИПИ
\nu=\text{const}, одноатомный идеальный газ; точка 1: (V_0;\,p_0); точка 2: (2V_0;\,2p_0); участок 1\!-\!2 — прямая через начало координат; участок 2\!-\!3 — изохора при V=2V_0; участок 3\!-\!1 — адиабата; A_{31}=370 Дж (работа внешних сил над газом при сжатии); |Q_{\text{хол}}|=3370 Дж.
A_{12} — работу газа на участке 1\!-\!2.
Цикл — это «качели энергии»: на одном участке газ берёт теплоту у нагревателя и совершает работу, на другом отдаёт лишнее холодильнику, а адиабата — это «глухой» участок, где теплообмена нет вовсе, как термос. За полный круг газ возвращается в исходное состояние, поэтому его внутренняя энергия меняется на ноль.
Внутренняя энергия одноатомного газа: U=\dfrac{3}{2}\nu RT=\dfrac{3}{2}pV. Посчитаем её в трёх точках:
U_1=\dfrac{3}{2}p_0V_0,\qquad U_2=\dfrac{3}{2}\,(2p_0)(2V_0)=6p_0V_0,\qquad U_3=\dfrac{3}{2}p_3\,(2V_0)=3p_3V_0.
Адиабата 3\!-\!1. Теплообмена нет (Q_{31}=0), поэтому по первому закону термодинамики вся работа идёт за счёт внутренней энергии. Внешние силы сжимают газ и совершают над ним A_{31}=370 Дж, значит сам газ совершает работу -370 Дж, и его внутренняя энергия растёт:
U_1-U_3=A_{31}=370\ \text{Дж}\;\Rightarrow\;\dfrac{3}{2}p_0V_0-3p_3V_0=370.\quad(1)
Изохора 2\!-\!3. Объём постоянен, работа равна нулю, поэтому теплота равна изменению внутренней энергии. Давление падает, газ остывает и отдаёт теплоту холодильнику. Именно на этом участке газ сбрасывает теплоту, значит |Q_{\text{хол}}|=|Q_{23}|:
|Q_{23}|=U_2-U_3=6p_0V_0-3p_3V_0=3370.\quad(2)
Вычтем (1) из (2) — слагаемое 3p_3V_0 уйдёт:
\left(6p_0V_0-3p_3V_0\right)-\left(\dfrac{3}{2}p_0V_0-3p_3V_0\right)=3370-370,
6p_0V_0-\dfrac{3}{2}p_0V_0=3000\;\Rightarrow\;\dfrac{9}{2}p_0V_0=3000\;\Rightarrow\;p_0V_0=\dfrac{2000}{3}\approx 666{,}7\ \text{Дж}.
Работа на участке 1\!-\!2. Это прямая на p\!-\!V диаграмме, поэтому работа газа равна площади трапеции под ней (полусумма оснований на ширину):
A_{12}=\dfrac{p_1+p_2}{2}\,(V_2-V_1)=\dfrac{p_0+2p_0}{2}\,(2V_0-V_0)=\dfrac{3}{2}p_0V_0.
Подставляем найденное p_0V_0:
A_{12}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2000}{3}=1000\ \text{Дж}.
Итак, на участке 1\!-\!2 газ совершил работу 1000 Дж.
A_{12}=1000 Дж