ID: 00016951
Над $1$ молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс $1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!5$. По горизонтальной оси отложена абсолютная температура $T$ газа, а по вертикальной оси — количество теплоты $\Delta Q$, полученное или отданное газом к данному моменту (накопленная теплота на соответствующем участке). После прихода в точку $5$ весь процесс циклически повторяется с теми же изменениями величин.
График состоит из отрезков, идущих либо строго вертикально (температура $T$ при этом не меняется), либо строго горизонтально (накопленная теплота $\Delta Q$ при этом не меняется). Вертикальные участки расположены при двух значениях температуры: при $T_{\max}=4$ усл. ед. (правая вертикаль, на ней лежат точки $1$, $5$, $2$) и при $T_{\min}=2$ усл. ед. (левая вертикаль, на ней лежат точки $3$ и $4$). Горизонтальные участки соединяют эти две вертикали: верхний участок $2\!-\!3$ и средний участок $4\!-\!5$. На правой вертикали при движении $1\to5\to2$ величина $\Delta Q$ растёт (газ получает теплоту), на левой вертикали при движении $3\to4$ величина $\Delta Q$ убывает (газ отдаёт теплоту).
Найдите КПД этого цикла (в процентах).
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль одноатомного идеального газа; цикл $1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!5$ в осях $T$ (абсцисса) и $\Delta Q$ (ордината, накопленная теплота); вертикали при $T_{\max}=4$ усл. ед. и $T_{\min}=2$ усл. ед.
$\eta$ — КПД цикла.
Сначала «на пальцах», что вообще нарисовано. Представь, что у тебя есть счётчик-копилка теплоты: он показывает, сколько джоулей газ суммарно набрал. Когда газ греется-расширяется и копилка пополняется — счётчик растёт; когда теплоту в копилку не кладут вовсе — счётчик стоит на месте. На картинке по вертикали как раз эта копилка $\Delta Q$, а по горизонтали — температура $T$.
Смотрим на отрезки. Вертикальный отрезок: температура не меняется ($T=\text{const}$), а копилка $\Delta Q$ ползёт вверх или вниз — значит теплота идёт, но температура стоит. Это изотерма (процесс при постоянной температуре). Горизонтальный отрезок: копилка $\Delta Q$ замерла (теплоту не подводят и не отводят, $\Delta Q=\text{const}$), а температура меняется. Процесс без теплообмена — это адиабата.
Получается, цикл сложен из двух изотерм и двух адиабат — это в точности цикл Карно, цикл идеальной тепловой машины:
• правая вертикаль ($T_{\max}=4$, точки $1\to5\to2$) — изотерма при максимальной температуре, копилка растёт $\Rightarrow$ газ получает теплоту $Q_{\text{нагр}}$;
• верхний горизонтальный участок $2\to3$ — адиабата: теплоты нет, температура падает с $T_{\max}$ до $T_{\min}$ (адиабатное расширение);
• левая вертикаль ($T_{\min}=2$, точки $3\to4$) — изотерма при минимальной температуре, копилка убывает $\Rightarrow$ газ отдаёт теплоту $Q_{\text{хол}}$;
• средний горизонтальный участок $4\to5$ — адиабата: теплоты нет, температура растёт обратно с $T_{\min}$ до $T_{\max}$ (адиабатное сжатие).
Для цикла Карно КПД зависит только от двух температур — нагревателя и холодильника — и считается по формуле:
$$\eta = 1-\frac{T_{\min}}{T_{\max}}.$$
Температуры берём прямо с графика (значения на двух вертикалях): $T_{\max}=4$ усл. ед., $T_{\min}=2$ усл. ед. Отношение температур — безразмерное, поэтому единицы шкалы не важны:
$$\eta = 1-\frac{2}{4} = 1-0{,}5 = 0{,}5 = 50\%.$$
Половина подведённой теплоты ушла в полезную работу, половина — сброшена холодильнику. Это и есть максимально возможный КПД для машины, работающей между этими температурами.
$\eta = 50\%$