ID: 00016951
Над 1 молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс 1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!5. По горизонтальной оси отложена абсолютная температура T газа, а по вертикальной оси — количество теплоты \Delta Q, полученное или отданное газом к данному моменту (накопленная теплота на соответствующем участке). После прихода в точку 5 весь процесс циклически повторяется с теми же изменениями величин.
График состоит из отрезков, идущих либо строго вертикально (температура T при этом не меняется), либо строго горизонтально (накопленная теплота \Delta Q при этом не меняется). Вертикальные участки расположены при двух значениях температуры: при T_{\max}=4 усл. ед. (правая вертикаль, на ней лежат точки 1, 5, 2) и при T_{\min}=2 усл. ед. (левая вертикаль, на ней лежат точки 3 и 4). Горизонтальные участки соединяют эти две вертикали: верхний участок 2\!-\!3 и средний участок 4\!-\!5. На правой вертикали при движении 1\to5\to2 величина \Delta Q растёт (газ получает теплоту), на левой вертикали при движении 3\to4 величина \Delta Q убывает (газ отдаёт теплоту).
Найдите КПД этого цикла (в процентах).
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль одноатомного идеального газа; цикл 1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!5 в осях T (абсцисса) и \Delta Q (ордината, накопленная теплота); вертикали при T_{\max}=4 усл. ед. и T_{\min}=2 усл. ед.
\eta — КПД цикла.
Сначала «на пальцах», что вообще нарисовано. Представь, что у тебя есть счётчик-копилка теплоты: он показывает, сколько джоулей газ суммарно набрал. Когда газ греется-расширяется и копилка пополняется — счётчик растёт; когда теплоту в копилку не кладут вовсе — счётчик стоит на месте. На картинке по вертикали как раз эта копилка \Delta Q, а по горизонтали — температура T.
Смотрим на отрезки. Вертикальный отрезок: температура не меняется (T=\text{const}), а копилка \Delta Q ползёт вверх или вниз — значит теплота идёт, но температура стоит. Это изотерма (процесс при постоянной температуре). Горизонтальный отрезок: копилка \Delta Q замерла (теплоту не подводят и не отводят, \Delta Q=\text{const}), а температура меняется. Процесс без теплообмена — это адиабата.
Получается, цикл сложен из двух изотерм и двух адиабат — это в точности цикл Карно, цикл идеальной тепловой машины:
• правая вертикаль (T_{\max}=4, точки 1\to5\to2) — изотерма при максимальной температуре, копилка растёт \Rightarrow газ получает теплоту Q_{\text{нагр}};
• верхний горизонтальный участок 2\to3 — адиабата: теплоты нет, температура падает с T_{\max} до T_{\min} (адиабатное расширение);
• левая вертикаль (T_{\min}=2, точки 3\to4) — изотерма при минимальной температуре, копилка убывает \Rightarrow газ отдаёт теплоту Q_{\text{хол}};
• средний горизонтальный участок 4\to5 — адиабата: теплоты нет, температура растёт обратно с T_{\min} до T_{\max} (адиабатное сжатие).
Для цикла Карно КПД зависит только от двух температур — нагревателя и холодильника — и считается по формуле:
\eta = 1-\frac{T_{\min}}{T_{\max}}.
Температуры берём прямо с графика (значения на двух вертикалях): T_{\max}=4 усл. ед., T_{\min}=2 усл. ед. Отношение температур — безразмерное, поэтому единицы шкалы не важны:
\eta = 1-\frac{2}{4} = 1-0{,}5 = 0{,}5 = 50\%.
Половина подведённой теплоты ушла в полезную работу, половина — сброшена холодильнику. Это и есть максимально возможный КПД для машины, работающей между этими температурами.
\eta = 50\%