ID: 00016950
С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс $1\to2\to3\to4\to1$. На $p\,$–$\,V$-диаграмме цикл — параллелограмм с вершинами: состояние 1 — $\left(V_0;\ p_0\right)$; состояние 2 — $\left(4V_0;\ 5p_0\right)$; состояние 3 — $\left(5V_0;\ 5p_0\right)$; состояние 4 — $\left(2V_0;\ p_0\right)$. Участки $1\to2$ и $3\to4$ — наклонные прямые, участки $2\to3$ и $4\to1$ — изобары. Во сколько раз $n$ КПД данного цикла меньше, чем КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же максимальной и минимальной температурах?
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль, газ одноатомный идеальный. Состояния: $1\,(V_0;\,p_0)$, $2\,(4V_0;\,5p_0)$, $3\,(5V_0;\,5p_0)$, $4\,(2V_0;\,p_0)$. Цикл $1\to2\to3\to4\to1$.
$n=\dfrac{\eta_{\text{Карно}}}{\eta_{\text{цикла}}}$ — во сколько раз КПД цикла меньше карновского.
КПД — это как с зарплатой: сколько «на руки» (полезная работа) делим на то, сколько «начислили» (всё подведённое тепло). Идеальная машина Карно — это эталонный работник: при тех же самых горячей и холодной точках больше неё выжать нельзя. Сравним наш цикл с этим эталоном.
Удобно мерить всё в «кирпичиках» $p_0 V_0$. Температуры по $pV=\nu R T$ (так как $\nu=1$, то $T=\tfrac{pV}{R}$):
$T_1=\dfrac{p_0V_0}{R},\quad T_2=\dfrac{20p_0V_0}{R},\quad T_3=\dfrac{25p_0V_0}{R},\quad T_4=\dfrac{2p_0V_0}{R}.$
Максимальная температура в точке 3, минимальная — в точке 1:
$\eta_{\text{Карно}}=1-\dfrac{T_{\min}}{T_{\max}}=1-\dfrac{T_1}{T_3}=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}.$
Полезная работа за цикл — площадь параллелограмма на диаграмме. Высота между изобарами $p_0$ и $5p_0$ равна $4p_0$, горизонтальная сторона равна $V_0$ (например, от $4V_0$ до $5V_0$):
$W_{\text{ц}}=4p_0\cdot V_0=4\,p_0 V_0.$
Подведённое тепло. Идём по участкам, тепло поступает там, где $Q\gt 0$.
Участок $1\to2$ (наклонная, $p$ и $V$ растут): $W_{12}=\dfrac{p_0+5p_0}{2}(4V_0-V_0)=9\,p_0V_0$; $\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}(20-1)p_0V_0=28{,}5\,p_0V_0$; $Q_{12}=37{,}5\,p_0V_0\gt 0$.
Участок $2\to3$ (изобара $p=5p_0$, расширение): $W_{23}=5p_0\cdot V_0=5\,p_0V_0$; $\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}(25-20)p_0V_0=7{,}5\,p_0V_0$; $Q_{23}=12{,}5\,p_0V_0\gt 0$.
Участки $3\to4$ и $4\to1$ — сжатие с остыванием, там $Q\lt 0$ (тепло отдаётся). Значит подведённое тепло:
$Q_{\text{подв}}=Q_{12}+Q_{23}=37{,}5\,p_0V_0+12{,}5\,p_0V_0=50\,p_0V_0.$
КПД цикла:
$\eta_{\text{цикла}}=\dfrac{W_{\text{ц}}}{Q_{\text{подв}}}=\dfrac{4\,p_0V_0}{50\,p_0V_0}=\dfrac{2}{25}.$
Наконец отношение:
$n=\dfrac{\eta_{\text{Карно}}}{\eta_{\text{цикла}}}=\dfrac{24/25}{2/25}=\dfrac{24}{2}=12.$
Получилось ровно в $12$ раз — наш «работник» отдаёт в $12$ раз меньшую долю тепла в работу, чем идеальная машина Карно на тех же температурах.
$n = 12$