ID: 00016950
С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс 1\to2\to3\to4\to1. На p\,–\,V-диаграмме цикл — параллелограмм с вершинами: состояние 1 — \left(V_0;\ p_0\right); состояние 2 — \left(4V_0;\ 5p_0\right); состояние 3 — \left(5V_0;\ 5p_0\right); состояние 4 — \left(2V_0;\ p_0\right). Участки 1\to2 и 3\to4 — наклонные прямые, участки 2\to3 и 4\to1 — изобары. Во сколько раз n КПД данного цикла меньше, чем КПД идеальной тепловой машины, работающей при тех же максимальной и минимальной температурах?
Источник: ФИПИ
\nu=1 моль, газ одноатомный идеальный. Состояния: 1\,(V_0;\,p_0), 2\,(4V_0;\,5p_0), 3\,(5V_0;\,5p_0), 4\,(2V_0;\,p_0). Цикл 1\to2\to3\to4\to1.
n=\dfrac{\eta_{\text{Карно}}}{\eta_{\text{цикла}}} — во сколько раз КПД цикла меньше карновского.
КПД — это как с зарплатой: сколько «на руки» (полезная работа) делим на то, сколько «начислили» (всё подведённое тепло). Идеальная машина Карно — это эталонный работник: при тех же самых горячей и холодной точках больше неё выжать нельзя. Сравним наш цикл с этим эталоном.
Удобно мерить всё в «кирпичиках» p_0 V_0. Температуры по pV=\nu R T (так как \nu=1, то T=\tfrac{pV}{R}):
T_1=\dfrac{p_0V_0}{R},\quad T_2=\dfrac{20p_0V_0}{R},\quad T_3=\dfrac{25p_0V_0}{R},\quad T_4=\dfrac{2p_0V_0}{R}.
Максимальная температура в точке 3, минимальная — в точке 1:
\eta_{\text{Карно}}=1-\dfrac{T_{\min}}{T_{\max}}=1-\dfrac{T_1}{T_3}=1-\dfrac{1}{25}=\dfrac{24}{25}.
Полезная работа за цикл — площадь параллелограмма на диаграмме. Высота между изобарами p_0 и 5p_0 равна 4p_0, горизонтальная сторона равна V_0 (например, от 4V_0 до 5V_0):
W_{\text{ц}}=4p_0\cdot V_0=4\,p_0 V_0.
Подведённое тепло. Идём по участкам, тепло поступает там, где Q\gt 0.
Участок 1\to2 (наклонная, p и V растут): W_{12}=\dfrac{p_0+5p_0}{2}(4V_0-V_0)=9\,p_0V_0; \Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}(20-1)p_0V_0=28{,}5\,p_0V_0; Q_{12}=37{,}5\,p_0V_0\gt 0.
Участок 2\to3 (изобара p=5p_0, расширение): W_{23}=5p_0\cdot V_0=5\,p_0V_0; \Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}(25-20)p_0V_0=7{,}5\,p_0V_0; Q_{23}=12{,}5\,p_0V_0\gt 0.
Участки 3\to4 и 4\to1 — сжатие с остыванием, там Q\lt 0 (тепло отдаётся). Значит подведённое тепло:
Q_{\text{подв}}=Q_{12}+Q_{23}=37{,}5\,p_0V_0+12{,}5\,p_0V_0=50\,p_0V_0.
КПД цикла:
\eta_{\text{цикла}}=\dfrac{W_{\text{ц}}}{Q_{\text{подв}}}=\dfrac{4\,p_0V_0}{50\,p_0V_0}=\dfrac{2}{25}.
Наконец отношение:
n=\dfrac{\eta_{\text{Карно}}}{\eta_{\text{цикла}}}=\dfrac{24/25}{2/25}=\dfrac{24}{2}=12.
Получилось ровно в 12 раз — наш «работник» отдаёт в 12 раз меньшую долю тепла в работу, чем идеальная машина Карно на тех же температурах.
n = 12