Дано:

Гелий (одноатомный идеальный газ); \;\nu=3 моль; \;Q_{\text{нагр}}=50 кДж =5\cdot10^4 Дж. Состояния: 1\,(V_0;\,p_0), 2\,(V_0;\,2p_0), 3\,(4V_0;\,3p_0). R=8{,}31 Дж/(моль·К).

Найти:

T_3 — температуру гелия в состоянии 3.

Решение:

Представь, что p_0 V_0 — это один «кирпичик» энергии, и весь цикл мы выкладываем такими кирпичиками. Тогда нам не нужно знать p_0 и V_0 по отдельности: достаточно узнать, сколько кирпичиков набралось за весь нагрев, и приравнять их к 50 кДж.

Сначала температура состояния 3 через уравнение состояния pV=\nu R T:

T_3=\dfrac{p_3 V_3}{\nu R}=\dfrac{3p_0\cdot 4V_0}{\nu R}=\dfrac{12\,p_0 V_0}{\nu R}.

Видно: чтобы найти T_3, нужно значение произведения p_0 V_0. Найдём его из теплоты. Газ получает тепло там, где Q\gt 0. Проверим участки.

Участок 1\to2 (изохора, V=V_0): работа W_{12}=0, всё тепло в внутреннюю энергию. Для одноатомного газа \Delta U=\tfrac{3}{2}\Delta(pV):

Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}(2p_0 V_0-p_0 V_0)=\dfrac{3}{2}p_0 V_0\gt 0.

Участок 2\to3 (прямая, p и V растут): температура растёт всюду, газ расширяется — значит тепло поступает на всём участке. Работа газа равна площади трапеции под прямой:

W_{23}=\dfrac{p_2+p_3}{2}(V_3-V_2)=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}(4V_0-V_0)=\dfrac{5p_0}{2}\cdot 3V_0=7{,}5\,p_0 V_0.

\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}(p_3 V_3-p_2 V_2)=\dfrac{3}{2}(12p_0 V_0-2p_0 V_0)=15\,p_0 V_0.

Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=15\,p_0 V_0+7{,}5\,p_0 V_0=22{,}5\,p_0 V_0\gt 0.

На участке 3\to1 газ сжимается и остывает — тепло отдаётся (Q\lt 0), в Q_{\text{нагр}} оно не входит. Значит всё полученное тепло:

Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=1{,}5\,p_0 V_0+22{,}5\,p_0 V_0=24\,p_0 V_0.

Отсюда «кирпичик» p_0 V_0=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{24}=\dfrac{5\cdot10^4}{24} Дж. Подставляем в формулу для T_3:

T_3=\dfrac{12\,p_0 V_0}{\nu R}=\dfrac{12}{3\cdot 8{,}31}\cdot\dfrac{5\cdot10^4}{24}=\dfrac{12\cdot 5\cdot10^4}{3\cdot 8{,}31\cdot 24}\approx 1003\ \text{К}.

Получилось около 1003 К — гелий в самой «горячей» точке цикла раскалён примерно до тысячи кельвинов.