ID: 00016949
С гелием совершают циклический процесс $1\to2\to3\to1$. На $p\,$–$\,V$-диаграмме цикл — треугольник с вершинами: состояние 1 — $\left(V_0;\ p_0\right)$; состояние 2 — $\left(V_0;\ 2p_0\right)$; состояние 3 — $\left(4V_0;\ 3p_0\right)$. Участок $1\to2$ — изохора (рост давления), участок $2\to3$ — прямая линия (одновременный рост давления и объёма), участок $3\to1$ — прямая возврата. В этом цикле газ получил количество теплоты $Q_{\text{нагр}}=50$ кДж. Количество вещества газа $\nu=3$ моль. Найдите температуру гелия в состоянии 3.
Источник: ФИПИ
Гелий (одноатомный идеальный газ); $\;\nu=3$ моль; $\;Q_{\text{нагр}}=50$ кДж $=5\cdot10^4$ Дж. Состояния: $1\,(V_0;\,p_0)$, $2\,(V_0;\,2p_0)$, $3\,(4V_0;\,3p_0)$. $R=8{,}31$ Дж/(моль·К).
$T_3$ — температуру гелия в состоянии 3.
Представь, что $p_0 V_0$ — это один «кирпичик» энергии, и весь цикл мы выкладываем такими кирпичиками. Тогда нам не нужно знать $p_0$ и $V_0$ по отдельности: достаточно узнать, сколько кирпичиков набралось за весь нагрев, и приравнять их к $50$ кДж.
Сначала температура состояния 3 через уравнение состояния $pV=\nu R T$:
$T_3=\dfrac{p_3 V_3}{\nu R}=\dfrac{3p_0\cdot 4V_0}{\nu R}=\dfrac{12\,p_0 V_0}{\nu R}.$
Видно: чтобы найти $T_3$, нужно значение произведения $p_0 V_0$. Найдём его из теплоты. Газ получает тепло там, где $Q\gt 0$. Проверим участки.
Участок $1\to2$ (изохора, $V=V_0$): работа $W_{12}=0$, всё тепло в внутреннюю энергию. Для одноатомного газа $\Delta U=\tfrac{3}{2}\Delta(pV)$:
$Q_{12}=\Delta U_{12}=\dfrac{3}{2}(2p_0 V_0-p_0 V_0)=\dfrac{3}{2}p_0 V_0\gt 0.$
Участок $2\to3$ (прямая, $p$ и $V$ растут): температура растёт всюду, газ расширяется — значит тепло поступает на всём участке. Работа газа равна площади трапеции под прямой:
$W_{23}=\dfrac{p_2+p_3}{2}(V_3-V_2)=\dfrac{2p_0+3p_0}{2}(4V_0-V_0)=\dfrac{5p_0}{2}\cdot 3V_0=7{,}5\,p_0 V_0.$
$\Delta U_{23}=\dfrac{3}{2}(p_3 V_3-p_2 V_2)=\dfrac{3}{2}(12p_0 V_0-2p_0 V_0)=15\,p_0 V_0.$
$Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=15\,p_0 V_0+7{,}5\,p_0 V_0=22{,}5\,p_0 V_0\gt 0.$
На участке $3\to1$ газ сжимается и остывает — тепло отдаётся ($Q\lt 0$), в $Q_{\text{нагр}}$ оно не входит. Значит всё полученное тепло:
$Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=1{,}5\,p_0 V_0+22{,}5\,p_0 V_0=24\,p_0 V_0.$
Отсюда «кирпичик» $p_0 V_0=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{24}=\dfrac{5\cdot10^4}{24}$ Дж. Подставляем в формулу для $T_3$:
$T_3=\dfrac{12\,p_0 V_0}{\nu R}=\dfrac{12}{3\cdot 8{,}31}\cdot\dfrac{5\cdot10^4}{24}=\dfrac{12\cdot 5\cdot10^4}{3\cdot 8{,}31\cdot 24}\approx 1003\ \text{К}.$
Получилось около $1003$ К — гелий в самой «горячей» точке цикла раскалён примерно до тысячи кельвинов.
$T_3 \approx 1{,}0\cdot10^3$ К $\approx 1003$ К