ID: 00016948
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками под массивным металлическим поршнем находится одноатомный идеальный газ. В начальном состоянии поршень массой $M$ и площадью основания $S$ покоится на высоте $h$, опираясь на выступы. Давление газа $p_0$ равно внешнему атмосферному. Над поршнем — атмосфера с тем же давлением $p_0$. Какое количество теплоты $Q$ нужно сообщить газу при медленном его нагревании, чтобы поршень поднялся и оказался на высоте $H$? Тепловыми потерями пренебречь.
Источник: ФИПИ
$M$ — масса поршня; $\;S$ — площадь поршня; $\;h$ — начальная высота; $\;H$ — конечная высота; $\;p_0$ — атмосферное давление (и начальное давление газа); газ одноатомный идеальный.
$Q$ — количество теплоты, сообщённое газу.
Представь баночку, в которой поршень лежит на двух уступах, как крышка на бортиках, и снизу её ничего не толкает: газ давит ровно столько же, сколько воздух сверху ($p_0=p_0$), а вес крышки держат бортики. Чтобы крышка поехала вверх, газ снизу должен сначала «накачать силу» — стать настолько сильнее, чтобы самому удержать и атмосферу сверху, и вес поршня. Поэтому нагрев идёт в два захода.
Этап 1 — газ греется, а поршень стоит на выступах (объём не меняется). Пока поршень лежит на уступах, объём постоянен $V_1=Sh$. Газ греется, давление растёт от $p_0$ до того значения $p_1$, при котором газ снизу сам сможет держать поршень. В момент отрыва поршень в равновесии: снизу давит газ, сверху — атмосфера и вес:
$p_1 S = p_0 S + Mg \;\Rightarrow\; p_1 = p_0 + \dfrac{Mg}{S}.$
Процесс изохорный ($V=\text{const}$), работа газа $W_1=0$, поэтому всё тепло идёт во внутреннюю энергию. Для одноатомного газа $U=\dfrac{3}{2}pV$:
$Q_1=\Delta U_1=\dfrac{3}{2}(p_1-p_0)V_1=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{Mg}{S}\cdot Sh=\dfrac{3}{2}Mgh.$
Этап 2 — поршень поднимается при постоянном давлении. Как только поршень оторвался, он плывёт вверх как пробка, а давление остаётся равным $p_1=p_0+\dfrac{Mg}{S}$ (вес и атмосфера не меняются). Поршень идёт от $h$ до $H$, объём растёт от $Sh$ до $SH$, то есть $\Delta V=S(H-h)$. Работа газа:
$W_2=p_1\Delta V=\left(p_0+\dfrac{Mg}{S}\right)S(H-h)=(p_0 S+Mg)(H-h).$
Изменение внутренней энергии при изобарном процессе $\Delta U_2=\dfrac{3}{2}p_1\Delta V=\dfrac{3}{2}(p_0 S+Mg)(H-h)$. По первому закону термодинамики $Q_2=\Delta U_2+W_2$:
$Q_2=\dfrac{3}{2}(p_0 S+Mg)(H-h)+(p_0 S+Mg)(H-h)=\dfrac{5}{2}(p_0 S+Mg)(H-h).$
Итог. Складываем тепло обоих этапов:
$Q=Q_1+Q_2=\dfrac{3}{2}Mgh+\dfrac{5}{2}(p_0 S+Mg)(H-h).$
Первое слагаемое — «разогрев под крышкой» до отрыва, второе — на подъём поршня против атмосферы и веса плюс нагрев газа во время подъёма.
$Q = \dfrac{3}{2}Mgh + \dfrac{5}{2}\left(p_0 S + Mg\right)(H-h)$