Дано:

M — масса поршня; \;S — площадь поршня; \;h — начальная высота; \;H — конечная высота; \;p_0 — атмосферное давление (и начальное давление газа); газ одноатомный идеальный.

Найти:

Q — количество теплоты, сообщённое газу.

Решение:

Представь баночку, в которой поршень лежит на двух уступах, как крышка на бортиках, и снизу её ничего не толкает: газ давит ровно столько же, сколько воздух сверху (p_0=p_0), а вес крышки держат бортики. Чтобы крышка поехала вверх, газ снизу должен сначала «накачать силу» — стать настолько сильнее, чтобы самому удержать и атмосферу сверху, и вес поршня. Поэтому нагрев идёт в два захода.

Этап 1 — газ греется, а поршень стоит на выступах (объём не меняется). Пока поршень лежит на уступах, объём постоянен V_1=Sh. Газ греется, давление растёт от p_0 до того значения p_1, при котором газ снизу сам сможет держать поршень. В момент отрыва поршень в равновесии: снизу давит газ, сверху — атмосфера и вес:

p_1 S = p_0 S + Mg \;\Rightarrow\; p_1 = p_0 + \dfrac{Mg}{S}.

Процесс изохорный (V=\text{const}), работа газа W_1=0, поэтому всё тепло идёт во внутреннюю энергию. Для одноатомного газа U=\dfrac{3}{2}pV:

Q_1=\Delta U_1=\dfrac{3}{2}(p_1-p_0)V_1=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{Mg}{S}\cdot Sh=\dfrac{3}{2}Mgh.

Этап 2 — поршень поднимается при постоянном давлении. Как только поршень оторвался, он плывёт вверх как пробка, а давление остаётся равным p_1=p_0+\dfrac{Mg}{S} (вес и атмосфера не меняются). Поршень идёт от h до H, объём растёт от Sh до SH, то есть \Delta V=S(H-h). Работа газа:

W_2=p_1\Delta V=\left(p_0+\dfrac{Mg}{S}\right)S(H-h)=(p_0 S+Mg)(H-h).

Изменение внутренней энергии при изобарном процессе \Delta U_2=\dfrac{3}{2}p_1\Delta V=\dfrac{3}{2}(p_0 S+Mg)(H-h). По первому закону термодинамики Q_2=\Delta U_2+W_2:

Q_2=\dfrac{3}{2}(p_0 S+Mg)(H-h)+(p_0 S+Mg)(H-h)=\dfrac{5}{2}(p_0 S+Mg)(H-h).

Итог. Складываем тепло обоих этапов:

Q=Q_1+Q_2=\dfrac{3}{2}Mgh+\dfrac{5}{2}(p_0 S+Mg)(H-h).

Первое слагаемое — «разогрев под крышкой» до отрыва, второе — на подъём поршня против атмосферы и веса плюс нагрев газа во время подъёма.