Дано:

M=145 кг; \;V=230 м^3; \;t_0=0\,^\circC, \;T_0=273 К; \;p_0=10^5 Па; \;M_\text{в}=0{,}029 кг/моль; \;g=10 м/с^2; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).

Найти:

t — минимальную температуру воздуха внутри оболочки для начала подъёма.

Решение:

Это «зеркало» прежней задачи. Тёплый воздух внутри шара — как лёгкий пенопласт: чем сильнее его нагреть, тем он реже (легче) и тем охотнее холодный плотный воздух снаружи выталкивает шар вверх. Значит есть самая низкая внутренняя температура: чуть горячее — взлетит, чуть холоднее — ещё нет. Её и ищем.

1. Условие старта. Шар тронется вверх, когда сила Архимеда от наружного воздуха сравняется с весом оболочки и весом нагретого воздуха внутри:

\rho_0 g V = M g + \rho g V \;\Rightarrow\; (\rho_0-\rho)\,V = M,

где \rho_0 — плотность наружного воздуха, \rho — горячего внутри.

2. Плотность через температуру. Отверстие снизу выравнивает давление: внутри и снаружи одинаковое p_0. Воздух — идеальный газ, \rho=\dfrac{p_0 M_\text{в}}{RT}. Поэтому:

\rho_0=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T_0},\qquad \rho=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T}.

Подставляем в условие старта:

\frac{p_0 M_\text{в}}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)V = M.

3. Выражаем внутреннюю температуру T.

\frac{1}{T}=\frac{1}{T_0}-\frac{M R}{p_0 M_\text{в} V}.

Коэффициент \dfrac{p_0 M_\text{в}}{R}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31}\approx 349 кг·К/м^3. Тогда:

\frac{1}{T}=\frac{1}{273}-\frac{145}{349\cdot230}=0{,}003663-0{,}001807=0{,}001856\ \text{К}^{-1},

T=\frac{1}{0{,}001856}\approx 539\ \text{К}.

Переводим в градусы Цельсия: t=T-273\approx 266\,^\circC. То есть, чтобы килограммовая оболочка объёмом 230 м^3 оторвалась от земли в нулевую погоду, воздух внутри придётся раскалить примерно до 266\,^\circC.