ID: 00016947
Воздушный шар, оболочка которого имеет массу $M=145$ кг и объём $V=230$ м$^3$, наполняется при нормальном атмосферном давлении горячим воздухом. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие. Температура окружающего воздуха $t_0=0\,^\circ$C. Какую минимальную температуру $t$ должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Атмосферное давление $p_0=10^5$ Па, молярная масса воздуха $M_\text{в}=0{,}029$ кг/моль.
Источник: ФИПИ
$M=145$ кг; $\;V=230$ м$^3$; $\;t_0=0\,^\circ$C, $\;T_0=273$ К; $\;p_0=10^5$ Па; $\;M_\text{в}=0{,}029$ кг/моль; $\;g=10$ м/с$^2$; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).
$t$ — минимальную температуру воздуха внутри оболочки для начала подъёма.
Это «зеркало» прежней задачи. Тёплый воздух внутри шара — как лёгкий пенопласт: чем сильнее его нагреть, тем он реже (легче) и тем охотнее холодный плотный воздух снаружи выталкивает шар вверх. Значит есть самая низкая внутренняя температура: чуть горячее — взлетит, чуть холоднее — ещё нет. Её и ищем.
1. Условие старта. Шар тронется вверх, когда сила Архимеда от наружного воздуха сравняется с весом оболочки и весом нагретого воздуха внутри:
$$\rho_0 g V = M g + \rho g V \;\Rightarrow\; (\rho_0-\rho)\,V = M,$$
где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха, $\rho$ — горячего внутри.
2. Плотность через температуру. Отверстие снизу выравнивает давление: внутри и снаружи одинаковое $p_0$. Воздух — идеальный газ, $\rho=\dfrac{p_0 M_\text{в}}{RT}$. Поэтому:
$$\rho_0=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T_0},\qquad \rho=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T}.$$
Подставляем в условие старта:
$$\frac{p_0 M_\text{в}}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)V = M.$$
3. Выражаем внутреннюю температуру $T$.
$$\frac{1}{T}=\frac{1}{T_0}-\frac{M R}{p_0 M_\text{в} V}.$$
Коэффициент $\dfrac{p_0 M_\text{в}}{R}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31}\approx 349$ кг·К/м$^3$. Тогда:
$$\frac{1}{T}=\frac{1}{273}-\frac{145}{349\cdot230}=0{,}003663-0{,}001807=0{,}001856\ \text{К}^{-1},$$
$$T=\frac{1}{0{,}001856}\approx 539\ \text{К}.$$
Переводим в градусы Цельсия: $t=T-273\approx 266\,^\circ$C. То есть, чтобы килограммовая оболочка объёмом $230$ м$^3$ оторвалась от земли в нулевую погоду, воздух внутри придётся раскалить примерно до $266\,^\circ$C.
$t \approx 266\,^\circ$C (т. е. $T \approx 539$ К)