МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016946

Дано:

$M=145$ кг; $\;V=230$ м$^3$; $\;t=265\,^\circ$C, $\;T=538$ К; $\;p_0=10^5$ Па; $\;M_\text{в}=0{,}029$ кг/моль; $\;g=10$ м/с$^2$; $\;R=8{,}31$ Дж/(моль·К).

Найти:

$t_0$ — максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься.

Решение:

Шар взлетает по тому же принципу, что и пузырёк в воде: холодный наружный воздух плотнее и выталкивает шар вверх силой Архимеда, а тёплый воздух внутри лёгкий, как «пустота». Чем холоднее снаружи (плотнее воздух) — тем сильнее выталкивает. Значит, есть некая самая высокая наружная температура: чуть холоднее — взлетит, чуть теплее — уже нет. Эту границу и ищем.

1. Условие старта. Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда от наружного воздуха сравняется с весом оболочки и весом горячего воздуха внутри:

$$\rho_0 g V = M g + \rho g V,$$

где $\rho_0$ — плотность наружного воздуха, $\rho$ — плотность горячего воздуха внутри. Сократим $g$ и сгруппируем:

$$(\rho_0-\rho)\,V = M.$$

2. Плотность через температуру. Отверстие снизу делает давление внутри и снаружи одинаковым ($p_0$). Воздух — идеальный газ, его плотность $\rho=\dfrac{p_0 M_\text{в}}{RT}$ (это уравнение Менделеева — Клапейрона, записанное через плотность). Молярная масса одинаковая, поэтому:

$$\rho_0=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T_0},\qquad \rho=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T}.$$

Подставляем в условие старта:

$$\frac{p_0 M_\text{в}}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)V = M.$$

3. Выражаем $T_0$.

$$\frac{1}{T_0}=\frac{M R}{p_0 M_\text{в} V}+\frac{1}{T}.$$

Считаем коэффициент $\dfrac{p_0 M_\text{в}}{R}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31}\approx 349$ кг·К/м$^3$. Тогда:

$$\frac{1}{T_0}=\frac{145}{349\cdot230}+\frac{1}{538}=0{,}001807+0{,}001859=0{,}003665\ \text{К}^{-1},$$

$$T_0=\frac{1}{0{,}003665}\approx 273\ \text{К}.$$

Переводим в градусы Цельсия: $t_0=T_0-273\approx 0\,^\circ$C. Логично: если на улице теплее нуля — наружный воздух «жидковат» и не вытолкнет такой шар; нужен морозец $0\,^\circ$C и ниже.