Дано:

M=145 кг; \;V=230 м^3; \;t=265\,^\circC, \;T=538 К; \;p_0=10^5 Па; \;M_\text{в}=0{,}029 кг/моль; \;g=10 м/с^2; \;R=8{,}31 Дж/(моль·К).

Найти:

t_0 — максимальную температуру окружающего воздуха, при которой шар начнёт подниматься.

Решение:

Шар взлетает по тому же принципу, что и пузырёк в воде: холодный наружный воздух плотнее и выталкивает шар вверх силой Архимеда, а тёплый воздух внутри лёгкий, как «пустота». Чем холоднее снаружи (плотнее воздух) — тем сильнее выталкивает. Значит, есть некая самая высокая наружная температура: чуть холоднее — взлетит, чуть теплее — уже нет. Эту границу и ищем.

1. Условие старта. Шар начнёт подниматься, когда сила Архимеда от наружного воздуха сравняется с весом оболочки и весом горячего воздуха внутри:

\rho_0 g V = M g + \rho g V,

где \rho_0 — плотность наружного воздуха, \rho — плотность горячего воздуха внутри. Сократим g и сгруппируем:

(\rho_0-\rho)\,V = M.

2. Плотность через температуру. Отверстие снизу делает давление внутри и снаружи одинаковым (p_0). Воздух — идеальный газ, его плотность \rho=\dfrac{p_0 M_\text{в}}{RT} (это уравнение Менделеева — Клапейрона, записанное через плотность). Молярная масса одинаковая, поэтому:

\rho_0=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T_0},\qquad \rho=\frac{p_0 M_\text{в}}{R T}.

Подставляем в условие старта:

\frac{p_0 M_\text{в}}{R}\left(\frac{1}{T_0}-\frac{1}{T}\right)V = M.

3. Выражаем T_0.

\frac{1}{T_0}=\frac{M R}{p_0 M_\text{в} V}+\frac{1}{T}.

Считаем коэффициент \dfrac{p_0 M_\text{в}}{R}=\dfrac{10^5\cdot0{,}029}{8{,}31}\approx 349 кг·К/м^3. Тогда:

\frac{1}{T_0}=\frac{145}{349\cdot230}+\frac{1}{538}=0{,}001807+0{,}001859=0{,}003665\ \text{К}^{-1},

T_0=\frac{1}{0{,}003665}\approx 273\ \text{К}.

Переводим в градусы Цельсия: t_0=T_0-273\approx 0\,^\circC. Логично: если на улице теплее нуля — наружный воздух «жидковат» и не вытолкнет такой шар; нужен морозец 0\,^\circC и ниже.