ID: 00016945
Тонкостенный цилиндр с воздухом закрыт снизу поршнем массой m = 1 кг, который может без трения перемещаться в цилиндре. Цилиндр плавает в вертикальном положении в воде при температуре T = 293 К. Когда цилиндр опустили при постоянной температуре на глубину h = 1 м (от поверхности воды до его верхней крышки), он потерял плавучесть. Какое количество вещества (число молей) воздуха было в цилиндре? Атмосферное давление равно p_0 = 10^5 Па, масса цилиндра и воздуха в цилиндре гораздо меньше массы поршня. Плотность воды \rho = 1000 кг/м^3.
Источник: ФИПИ
m=1 кг; \;T=293 К; \;h=1 м; \;p_0=10^5 Па; \;\rho=1000 кг/м^3; \;g=10 м/с^2. Масса цилиндра и воздуха \ll m.
\nu — количество вещества (число молей) воздуха в цилиндре.
Представь себе перевёрнутый вверх дном стакан с пузырём воздуха внутри: воздух держит стакан на плаву, как спасательный жилет. Снизу стакан затыкает «крышка-поршень», которая свободно скользит, поэтому вода снаружи и воздух внутри всё время «договариваются» о давлении через этот поршень. Чем глубже опускаем — тем сильнее вода давит снизу, тем сильнее она сжимает воздушный пузырь, и тем меньше он выталкивает. На глубине h выталкивать стало нечем — цилиндр «потерял плавучесть».
1. Условие равновесия поршня. Поршень тонкий, площадь S. Снизу его подпирает вода с давлением p_{\text{в}}, сверху давит запертый воздух с давлением p, плюс вниз тянет вес поршня mg. В равновесии:
p_{\text{в}}\,S = p\,S + mg.
2. Давление воды у поршня. Поршень находится ниже верхней крышки на высоту воздушного столба L, то есть на глубине h+L. По закону для покоящейся жидкости:
p_{\text{в}} = p_0 + \rho g (h+L).
3. Потеря плавучести. Сила Архимеда создаётся объёмом воздуха V=SL (стенки и поршень тонкие). «Потерял плавучесть» — это граница, когда выталкивающая сила сравнялась с весом поршня:
\rho g\,(SL) = mg \;\Rightarrow\; SL=\frac{m}{\rho},\qquad V=\frac{m}{\rho}=\frac{1}{1000}=10^{-3}\ \text{м}^3.
Отсюда же \dfrac{mg}{S}=\rho g L. Подставим это в условие равновесия поршня, выразив давление воздуха:
p = p_{\text{в}} - \frac{mg}{S} = p_0 + \rho g(h+L) - \rho g L = p_0 + \rho g h.
Высота столба L красиво сократилась! Считаем давление воздуха на глубине h:
p = p_0 + \rho g h = 10^5 + 1000\cdot10\cdot1 = 1{,}1\cdot10^5\ \text{Па}.
4. Уравнение состояния. Температура постоянна, воздух — идеальный газ. По уравнению Менделеева — Клапейрона pV=\nu R T:
\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{1{,}1\cdot10^5\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot293}=\frac{110}{2435}\approx 0{,}045\ \text{моль}.
Получилось примерно 0{,}045 моль — это около одного литра воздуха при нормальных условиях, ровно столько, чтобы удержать килограммовый поршень на поверхности, но не глубже метра.
\nu \approx 0{,}045 моль