ID: 00016945
Тонкостенный цилиндр с воздухом закрыт снизу поршнем массой $m = 1$ кг, который может без трения перемещаться в цилиндре. Цилиндр плавает в вертикальном положении в воде при температуре $T = 293$ К. Когда цилиндр опустили при постоянной температуре на глубину $h = 1$ м (от поверхности воды до его верхней крышки), он потерял плавучесть. Какое количество вещества (число молей) воздуха было в цилиндре? Атмосферное давление равно $p_0 = 10^5$ Па, масса цилиндра и воздуха в цилиндре гораздо меньше массы поршня. Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м$^3$.
Источник: ФИПИ
$m=1$ кг; $\;T=293$ К; $\;h=1$ м; $\;p_0=10^5$ Па; $\;\rho=1000$ кг/м$^3$; $\;g=10$ м/с$^2$. Масса цилиндра и воздуха $\ll m$.
$\nu$ — количество вещества (число молей) воздуха в цилиндре.
Представь себе перевёрнутый вверх дном стакан с пузырём воздуха внутри: воздух держит стакан на плаву, как спасательный жилет. Снизу стакан затыкает «крышка-поршень», которая свободно скользит, поэтому вода снаружи и воздух внутри всё время «договариваются» о давлении через этот поршень. Чем глубже опускаем — тем сильнее вода давит снизу, тем сильнее она сжимает воздушный пузырь, и тем меньше он выталкивает. На глубине $h$ выталкивать стало нечем — цилиндр «потерял плавучесть».
1. Условие равновесия поршня. Поршень тонкий, площадь $S$. Снизу его подпирает вода с давлением $p_{\text{в}}$, сверху давит запертый воздух с давлением $p$, плюс вниз тянет вес поршня $mg$. В равновесии:
$$p_{\text{в}}\,S = p\,S + mg.$$
2. Давление воды у поршня. Поршень находится ниже верхней крышки на высоту воздушного столба $L$, то есть на глубине $h+L$. По закону для покоящейся жидкости:
$$p_{\text{в}} = p_0 + \rho g (h+L).$$
3. Потеря плавучести. Сила Архимеда создаётся объёмом воздуха $V=SL$ (стенки и поршень тонкие). «Потерял плавучесть» — это граница, когда выталкивающая сила сравнялась с весом поршня:
$$\rho g\,(SL) = mg \;\Rightarrow\; SL=\frac{m}{\rho},\qquad V=\frac{m}{\rho}=\frac{1}{1000}=10^{-3}\ \text{м}^3.$$
Отсюда же $\dfrac{mg}{S}=\rho g L$. Подставим это в условие равновесия поршня, выразив давление воздуха:
$$p = p_{\text{в}} - \frac{mg}{S} = p_0 + \rho g(h+L) - \rho g L = p_0 + \rho g h.$$
Высота столба $L$ красиво сократилась! Считаем давление воздуха на глубине $h$:
$$p = p_0 + \rho g h = 10^5 + 1000\cdot10\cdot1 = 1{,}1\cdot10^5\ \text{Па}.$$
4. Уравнение состояния. Температура постоянна, воздух — идеальный газ. По уравнению Менделеева — Клапейрона $pV=\nu R T$:
$$\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{1{,}1\cdot10^5\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot293}=\frac{110}{2435}\approx 0{,}045\ \text{моль}.$$
Получилось примерно $0{,}045$ моль — это около одного литра воздуха при нормальных условиях, ровно столько, чтобы удержать килограммовый поршень на поверхности, но не глубже метра.
$\nu \approx 0{,}045$ моль