Дано:

M=400 кг; V=2500 м³; t_0=17\,^\circ\text{C}=290 К; m=200 кг; нормальное атмосферное давление p_0\approx10^5 Па; g=10 м/с². Оболочка нерастяжима, снизу отверстие.

Найти:

\Delta t=t-t_0 — минимальную разность температур, при которой шар поднимет груз.

Решение:

Шар всплывает, как пузырёк воздуха в воде: наружный холодный воздух выталкивает его силой Архимеда. Чтобы взлететь с грузом, надо сделать содержимое лёгким — нагреть воздух внутри, ведь горячий воздух реже. Отверстие снизу держит давление внутри равным наружному p_0, а нерастяжимая оболочка держит объём V постоянным.

Наружный воздух при t_0=17\,^\circ\text{C} и нормальном давлении имеет плотность \rho_0=\dfrac{p_0 M_{\text{возд}}}{R T_0}\approx1{,}2 кг/м³ (молярная масса воздуха M_{\text{возд}}=0{,}029 кг/моль). Внутренний горячий воздух при том же давлении: \rho=\dfrac{p_0 M_{\text{возд}}}{R T}, поэтому \rho=\rho_0\dfrac{T_0}{T}.

Шар поднимает груз, когда сила Архимеда (вес вытесненного наружного воздуха) уравновешивает вес оболочки, вес горячего воздуха внутри и вес груза:

\rho_0 V g = M g + \rho V g + m g \;\Rightarrow\; \rho_0 V = M + \rho V + m.

Отсюда нужная плотность внутри:

\rho=\rho_0-\dfrac{M+m}{V}=1{,}2-\dfrac{400+200}{2500}=1{,}2-0{,}24=0{,}96\ \text{кг/м}^3.

Теперь найдём температуру внутри из \rho=\rho_0\dfrac{T_0}{T}:

T=\dfrac{\rho_0 T_0}{\rho}=\dfrac{1{,}2\cdot290}{0{,}96}\approx362\ \text{К}\approx89\,^\circ\text{C}.

Минимальная разность температур:

\Delta t=T-T_0=362-290\approx72\ \text{К}.

Удобно сразу получить формулу: \Delta t=T-T_0=T_0\left(\dfrac{\rho_0}{\rho}-1\right)=T_0\cdot\dfrac{M+m}{\rho_0 V-(M+m)}=290\cdot\dfrac{600}{3000-600}=290\cdot0{,}25=72{,}5\approx72 К. Чтобы поднять 200 кг, воздух внутри надо нагреть примерно на 72 градуса выше уличного.