МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016944

Дано:

$M=400$ кг; $V=2500$ м³; $t_0=17\,^\circ\text{C}=290$ К; $m=200$ кг; нормальное атмосферное давление $p_0\approx10^5$ Па; $g=10$ м/с². Оболочка нерастяжима, снизу отверстие.

Найти:

$\Delta t=t-t_0$ — минимальную разность температур, при которой шар поднимет груз.

Решение:

Шар всплывает, как пузырёк воздуха в воде: наружный холодный воздух выталкивает его силой Архимеда. Чтобы взлететь с грузом, надо сделать содержимое лёгким — нагреть воздух внутри, ведь горячий воздух реже. Отверстие снизу держит давление внутри равным наружному $p_0$, а нерастяжимая оболочка держит объём $V$ постоянным.

Наружный воздух при $t_0=17\,^\circ\text{C}$ и нормальном давлении имеет плотность $\rho_0=\dfrac{p_0 M_{\text{возд}}}{R T_0}\approx1{,}2$ кг/м³ (молярная масса воздуха $M_{\text{возд}}=0{,}029$ кг/моль). Внутренний горячий воздух при том же давлении: $\rho=\dfrac{p_0 M_{\text{возд}}}{R T}$, поэтому $\rho=\rho_0\dfrac{T_0}{T}$.

Шар поднимает груз, когда сила Архимеда (вес вытесненного наружного воздуха) уравновешивает вес оболочки, вес горячего воздуха внутри и вес груза:

$\rho_0 V g = M g + \rho V g + m g \;\Rightarrow\; \rho_0 V = M + \rho V + m.$

Отсюда нужная плотность внутри:

$\rho=\rho_0-\dfrac{M+m}{V}=1{,}2-\dfrac{400+200}{2500}=1{,}2-0{,}24=0{,}96\ \text{кг/м}^3.$

Теперь найдём температуру внутри из $\rho=\rho_0\dfrac{T_0}{T}$:

$T=\dfrac{\rho_0 T_0}{\rho}=\dfrac{1{,}2\cdot290}{0{,}96}\approx362\ \text{К}\approx89\,^\circ\text{C}.$

Минимальная разность температур:

$\Delta t=T-T_0=362-290\approx72\ \text{К}.$

Удобно сразу получить формулу: $\Delta t=T-T_0=T_0\left(\dfrac{\rho_0}{\rho}-1\right)=T_0\cdot\dfrac{M+m}{\rho_0 V-(M+m)}=290\cdot\dfrac{600}{3000-600}=290\cdot0{,}25=72{,}5\approx72$ К. Чтобы поднять $200$ кг, воздух внутри надо нагреть примерно на $72$ градуса выше уличного.