ID: 00016943
Воздушный шар, оболочка которого имеет массу M=400 кг и объём V=2500 м³, нагревают горелкой через отверстие снизу. Окружающий воздух имеет плотность \rho_0=1{,}2 кг/м³. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
а) Какую минимальную температуру t должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься (без груза)?
б) Шар нагрели до температуры 77\,^\circ\text{C} внутри. При какой температуре t_0 окружающего воздуха шар сможет поднять груз массой m=200 кг?
Источник: ФИПИ
M=400 кг; V=2500 м³; \rho_0=1{,}2 кг/м³; m=200 кг; в пункте б) внутри t_{\text{вн}}=77\,^\circ\text{C}=350 К; g=10 м/с². Оболочка нерастяжима, снизу отверстие.
а) t — минимальную температуру воздуха внутри для взлёта; б) t_0 — температуру окружающего воздуха, при которой шар поднимет груз m.
Воздушный шар — как пустой пакет, опущенный в воду: вода выталкивает его силой Архимеда. Только тут «вода» — это окружающий холодный воздух, а «лёгкость» пакета мы делаем сами, нагревая воздух внутри: горячий воздух реже (легче), и шар всплывает. Отверстие снизу важно: оно держит давление внутри равным наружному (p_0), а раз оболочка нерастяжима — объём V постоянный.
Ключевая связь: при одинаковом давлении p_0 плотность газа обратно пропорциональна температуре, \rho=\dfrac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT}. Значит для наружного и внутреннего воздуха \dfrac{\rho_{\text{вн}}}{\rho_0}=\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}, то есть \rho_{\text{вн}}=\rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}.
Пункт а). Шар начинает подниматься, когда сила Архимеда уравновешивает вес оболочки и вес горячего воздуха внутри (груза нет):
\rho_0 V g = M g + \rho_{\text{вн}} V g \;\Rightarrow\; \rho_{\text{вн}}=\rho_0-\dfrac{M}{V}=1{,}2-\dfrac{400}{2500}=1{,}04\ \text{кг/м}^3.
Наружному воздуху плотностью \rho_0=1{,}2 кг/м³ при нормальном давлении соответствует температура T_0\approx291 К. Тогда из \rho_{\text{вн}}=\rho_0\dfrac{T_0}{T} внутренняя температура:
T=\dfrac{\rho_0 T_0}{\rho_{\text{вн}}}=\dfrac{1{,}2\cdot291}{1{,}04}\approx336\ \text{К}\approx63\,^\circ\text{C}.
Пункт б). Теперь внутри держим T_{\text{вн}}=350 К и хотим поднять груз m. Чем холоднее снаружи, тем плотнее (тяжелее) наружный воздух и тем сильнее он выталкивает — тем больше можно поднять. Условие подъёма груза:
\rho_0 V g = M g + \rho_{\text{вн}} V g + m g \;\Rightarrow\; \rho_0 V = M + \rho_{\text{вн}} V + m.
Подставим \rho_{\text{вн}}=\rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}} (здесь \rho_0 — наружная плотность при искомой T_0):
\rho_0 V = M + \rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}V + m.
Считая для оценки \rho_0\approx1{,}2 кг/м³, выражаем T_0:
\rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}V=\rho_0 V-M-m\;\Rightarrow\;T_0=T_{\text{вн}}\dfrac{\rho_0 V-M-m}{\rho_0 V}=350\cdot\dfrac{1{,}2\cdot2500-400-200}{1{,}2\cdot2500}.
T_0=350\cdot\dfrac{3000-600}{3000}=350\cdot0{,}8=280\ \text{К}=7\,^\circ\text{C}.
Итак, чтобы поднять 200 кг при горячем воздухе 77\,^\circ\text{C} внутри, снаружи должно быть прохладно — около 7\,^\circ\text{C}.
а) t_{\min}\approx 63\,^\circ\text{C} (около 336 К);
б) t_0=7\,^\circ\text{C} (T_0=280 К).