ID: 00016943
Воздушный шар, оболочка которого имеет массу $M=400$ кг и объём $V=2500$ м³, нагревают горелкой через отверстие снизу. Окружающий воздух имеет плотность $\rho_0=1{,}2$ кг/м³. Оболочка шара нерастяжима и имеет в нижней части небольшое отверстие.
а) Какую минимальную температуру $t$ должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься (без груза)?
б) Шар нагрели до температуры $77\,^\circ\text{C}$ внутри. При какой температуре $t_0$ окружающего воздуха шар сможет поднять груз массой $m=200$ кг?
Источник: ФИПИ
$M=400$ кг; $V=2500$ м³; $\rho_0=1{,}2$ кг/м³; $m=200$ кг; в пункте б) внутри $t_{\text{вн}}=77\,^\circ\text{C}=350$ К; $g=10$ м/с². Оболочка нерастяжима, снизу отверстие.
а) $t$ — минимальную температуру воздуха внутри для взлёта; б) $t_0$ — температуру окружающего воздуха, при которой шар поднимет груз $m$.
Воздушный шар — как пустой пакет, опущенный в воду: вода выталкивает его силой Архимеда. Только тут «вода» — это окружающий холодный воздух, а «лёгкость» пакета мы делаем сами, нагревая воздух внутри: горячий воздух реже (легче), и шар всплывает. Отверстие снизу важно: оно держит давление внутри равным наружному ($p_0$), а раз оболочка нерастяжима — объём $V$ постоянный.
Ключевая связь: при одинаковом давлении $p_0$ плотность газа обратно пропорциональна температуре, $\rho=\dfrac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT}$. Значит для наружного и внутреннего воздуха $\dfrac{\rho_{\text{вн}}}{\rho_0}=\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}$, то есть $\rho_{\text{вн}}=\rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}$.
Пункт а). Шар начинает подниматься, когда сила Архимеда уравновешивает вес оболочки и вес горячего воздуха внутри (груза нет):
$\rho_0 V g = M g + \rho_{\text{вн}} V g \;\Rightarrow\; \rho_{\text{вн}}=\rho_0-\dfrac{M}{V}=1{,}2-\dfrac{400}{2500}=1{,}04\ \text{кг/м}^3.$
Наружному воздуху плотностью $\rho_0=1{,}2$ кг/м³ при нормальном давлении соответствует температура $T_0\approx291$ К. Тогда из $\rho_{\text{вн}}=\rho_0\dfrac{T_0}{T}$ внутренняя температура:
$T=\dfrac{\rho_0 T_0}{\rho_{\text{вн}}}=\dfrac{1{,}2\cdot291}{1{,}04}\approx336\ \text{К}\approx63\,^\circ\text{C}.$
Пункт б). Теперь внутри держим $T_{\text{вн}}=350$ К и хотим поднять груз $m$. Чем холоднее снаружи, тем плотнее (тяжелее) наружный воздух и тем сильнее он выталкивает — тем больше можно поднять. Условие подъёма груза:
$\rho_0 V g = M g + \rho_{\text{вн}} V g + m g \;\Rightarrow\; \rho_0 V = M + \rho_{\text{вн}} V + m.$
Подставим $\rho_{\text{вн}}=\rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}$ (здесь $\rho_0$ — наружная плотность при искомой $T_0$):
$\rho_0 V = M + \rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}V + m.$
Считая для оценки $\rho_0\approx1{,}2$ кг/м³, выражаем $T_0$:
$\rho_0\dfrac{T_0}{T_{\text{вн}}}V=\rho_0 V-M-m\;\Rightarrow\;T_0=T_{\text{вн}}\dfrac{\rho_0 V-M-m}{\rho_0 V}=350\cdot\dfrac{1{,}2\cdot2500-400-200}{1{,}2\cdot2500}.$
$T_0=350\cdot\dfrac{3000-600}{3000}=350\cdot0{,}8=280\ \text{К}=7\,^\circ\text{C}.$
Итак, чтобы поднять $200$ кг при горячем воздухе $77\,^\circ\text{C}$ внутри, снаружи должно быть прохладно — около $7\,^\circ\text{C}$.
а) $t_{\min}\approx 63\,^\circ\text{C}$ (около $336$ К);
б) $t_0=7\,^\circ\text{C}$ ($T_0=280$ К).