ID: 00016940
1 моль идеального газа переходит из состояния 1 в состояние 2, а потом — в состояние 3 так, как это показано на $(p,T)$-диаграмме. В состоянии 1 параметры газа $p_0$ и $T_0$; на участке 1–2 температура постоянна и равна $T_0$, а давление растёт от $p_0$ до $n p_0$; на участке 2–3 давление постоянно и равно $n p_0$, а температура растёт от $T_0$ до $k T_0$. Начальная температура газа равна $T_0=300$ К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если $k=2$.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; $\;T_0=300$ К; $\;k=2$; участок 2–3 — давление постоянно ($p=np_0$), температура растёт от $T_0$ до $kT_0$.
$A_{23}$ — работу газа на участке 2→3.
Работа газа — это как «толкание поршня»: газ давит на поршень и двигает его, совершая работу. Чем больше давление и чем дальше уехал поршень (то есть чем сильнее вырос объём), тем больше работа. На участке 2→3 давление держится постоянным (изобара), и тут есть удобное правило: при постоянном давлении работа газа равна $A=p\,\Delta V$, а через уравнение Менделеева — Клапейрона это превращается в очень простую формулу.
Запишем уравнение состояния $pV=\nu RT$ для точек 2 и 3 (давление одинаковое $p=np_0$):
$$p\,V_2=\nu R T_2,\qquad p\,V_3=\nu R T_3.$$
Вычтем одно из другого:
$$p\,(V_3-V_2)=\nu R\,(T_3-T_2)\;\Rightarrow\; A_{23}=p\,\Delta V=\nu R\,(T_3-T_2).$$
На участке 2→3 температура растёт от $T_2=T_0$ до $T_3=kT_0$. Значит $T_3-T_2=kT_0-T_0=(k-1)T_0$. Тогда:
$$A_{23}=\nu R\,(k-1)\,T_0.$$
Обрати внимание: множитель $n$ (во сколько раз выросло давление на первом участке) в ответ вообще не входит — для изобарной работы важна только разность температур. Подставляем числа ($R=8{,}31$ Дж/(моль·К)):
$$A_{23}=1\cdot 8{,}31\cdot (2-1)\cdot 300=8{,}31\cdot 300\approx 2493\ \text{Дж}.$$
Получилось около $2493$ Дж — столько работы газ совершил, расширяясь при постоянном давлении и нагреваясь вдвое по абсолютной температуре.
$A_{23}\approx 2493$ Дж