Дано:

M=90 г =0{,}09 кг; \;m=10 г =0{,}01 кг; \;v=400 м/с; \;\Delta T=64 К; гелий одноатомный; процесс адиабатный (Q=0).

Найти:

\nu — количество вещества гелия.

Решение:

Разобьём задачу на два простых шага, как два удара в бильярде. Сначала пуля врезается в поршень и «слипается» с ним (как пластилин с пластилином) — это удар, в нём сохраняется импульс. Потом этот тяжёлый «поршень с пулей» как разогнавшийся таран толкает газ влево, газ сопротивляется и тормозит таран до полной остановки — а вся энергия движения уходит на нагрев газа (тепло наружу не уходит, цилиндр в вакууме).

Шаг 1. Удар (сохранение импульса). До удара движется только пуля. После — пуля и поршень едут вместе со скоростью u. Импульс сохраняется:

mv=(M+m)u \;\Rightarrow\; u=\frac{mv}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot 400}{0{,}1}=40\ \text{м/с}.

Шаг 2. Торможение о газ (сохранение энергии). Кинетическая энергия «поршня с пулей» сразу после удара целиком переходит во внутреннюю энергию газа, потому что процесс адиабатный, а в крайнем левом положении поршень останавливается (v_{\text{кон}}=0):

\frac{(M+m)u^{2}}{2}=\Delta U.

Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия меняется по формуле \Delta U=\dfrac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T. Приравниваем:

\frac{(M+m)u^{2}}{2}=\frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T \;\Rightarrow\; \nu=\frac{(M+m)u^{2}}{3R\,\Delta T}.

Подставляем числа (R=8{,}31 Дж/(моль·К)):

\nu=\frac{0{,}1\cdot 40^{2}}{3\cdot 8{,}31\cdot 64}=\frac{160}{1595{,}5}\approx 0{,}1\ \text{моль}.

Получилось \approx 0{,}1 моль. Заметь: из 800 Дж энергии пули почти всё «съел» сам удар (слипание), и до газа дошло лишь 80 Дж — но и этого хватило, чтобы нагреть такую крошечную порцию гелия на 64 К.