МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016939

Дано:

$M=90$ г $=0{,}09$ кг; $\;m=10$ г $=0{,}01$ кг; $\;v=400$ м/с; $\;\Delta T=64$ К; гелий одноатомный; процесс адиабатный ($Q=0$).

Найти:

$\nu$ — количество вещества гелия.

Решение:

Разобьём задачу на два простых шага, как два удара в бильярде. Сначала пуля врезается в поршень и «слипается» с ним (как пластилин с пластилином) — это удар, в нём сохраняется импульс. Потом этот тяжёлый «поршень с пулей» как разогнавшийся таран толкает газ влево, газ сопротивляется и тормозит таран до полной остановки — а вся энергия движения уходит на нагрев газа (тепло наружу не уходит, цилиндр в вакууме).

Шаг 1. Удар (сохранение импульса). До удара движется только пуля. После — пуля и поршень едут вместе со скоростью $u$. Импульс сохраняется:

$$mv=(M+m)u \;\Rightarrow\; u=\frac{mv}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot 400}{0{,}1}=40\ \text{м/с}.$$

Шаг 2. Торможение о газ (сохранение энергии). Кинетическая энергия «поршня с пулей» сразу после удара целиком переходит во внутреннюю энергию газа, потому что процесс адиабатный, а в крайнем левом положении поршень останавливается ($v_{\text{кон}}=0$):

$$\frac{(M+m)u^{2}}{2}=\Delta U.$$

Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия меняется по формуле $\Delta U=\dfrac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T$. Приравниваем:

$$\frac{(M+m)u^{2}}{2}=\frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T \;\Rightarrow\; \nu=\frac{(M+m)u^{2}}{3R\,\Delta T}.$$

Подставляем числа ($R=8{,}31$ Дж/(моль·К)):

$$\nu=\frac{0{,}1\cdot 40^{2}}{3\cdot 8{,}31\cdot 64}=\frac{160}{1595{,}5}\approx 0{,}1\ \text{моль}.$$

Получилось $\approx 0{,}1$ моль. Заметь: из $800$ Дж энергии пули почти всё «съел» сам удар (слипание), и до газа дошло лишь $80$ Дж — но и этого хватило, чтобы нагреть такую крошечную порцию гелия на $64$ К.