ID: 00016938
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью $S$ находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра (его закрытым торцом) пружиной с жёсткостью $k$. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно $L$, а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению $p_0$. Какое количество теплоты $Q$ передано затем газу, если в результате поршень медленно переместился вправо (в сторону от основания) на расстояние $b$?
Ответ выразите через $p_0$, $S$, $k$, $L$ и $b$.
Источник: ФИПИ
Газ одноатомный идеальный; площадь поршня $S$; жёсткость пружины $k$; начальный зазор $L$; начальное давление газа $p_0$ (равно атмосферному); поршень сдвинулся вправо на $b$; цилиндр горизонтальный, стенки гладкие.
$Q$ — теплоту, переданную газу.
Воспользуемся первым законом термодинамики — это как семейный бюджет: всё тепло, что газу дали ($Q$), уходит на две статьи — газ «толстеет» изнутри (растёт внутренняя энергия $\Delta U$) и газ «толкает» поршень наружу (совершает работу $A$): $Q=\Delta U+A$.
Сначала разберёмся с давлением. Поршень держат в равновесии три силы вдоль оси: газ давит наружу ($pS$), атмосфера давит внутрь ($p_0 S$), и пружина. В самом начале давление газа равно атмосферному, значит газ и атмосфера уравновешивают друг друга, а пружине ничего держать не нужно — в начале пружина не деформирована (как ненатянутая резинка).
Поршень уехал вправо на $b$ — пружина растянулась на $b$ и теперь тянет поршень назад, к основанию, силой $kb$. Новое равновесие: газ должен пересилить и атмосферу, и натянутую пружину:
$$p\,S=p_0 S+kb\;\Rightarrow\;p=p_0+\frac{kb}{S}.$$
Работа газа. Давление растёт ровно (линейно) от $p_0$ до $p_0+\frac{kb}{S}$, объём вырос на $\Delta V=Sb$. Работа = средняя сила на путь, то есть площадь под графиком $p(V)$ — трапеция со средним давлением:
$$A=\frac{p_0+\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)}{2}\cdot S b=p_0 S b+\frac{kb^2}{2}.$$
Внутренняя энергия. Для одноатомного газа $U=\frac{3}{2}pV$, поэтому $\Delta U=\frac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1})$. Начало: $p_1V_1=p_0\cdot S L$. Конец: $p_2V_2=\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)\cdot S(L+b)$.
$$\Delta U=\frac{3}{2}\left[\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0 S L\right]=\frac{3}{2}\left(p_0 S b+kbL+kb^2\right).$$
Складываем по первому закону термодинамики:
$$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\left(p_0 S b+kbL+kb^2\right)+\left(p_0 S b+\frac{kb^2}{2}\right).$$
Приводим подобные:
$$Q=\frac{5}{2}p_0 S b+\frac{3}{2}kLb+2kb^2=\frac{b\,(5p_0 S+3kL+4kb)}{2}.$$
Это и есть тепло, которое пришлось «вложить» газу: часть пошла на нагрев самого газа, часть — на проталкивание поршня против атмосферы и растягивание пружины.
$Q=\dfrac{b\,(5p_0 S + 3kL + 4kb)}{2}$
(равносильно $Q=\dfrac{5}{2}p_0 S b+\dfrac{3}{2}kLb+2kb^2$)