ID: 00016938
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем с площадью S находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра (его закрытым торцом) пружиной с жёсткостью k. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра равно L, а давление газа в цилиндре равно внешнему атмосферному давлению p_0. Какое количество теплоты Q передано затем газу, если в результате поршень медленно переместился вправо (в сторону от основания) на расстояние b?
Ответ выразите через p_0, S, k, L и b.
Источник: ФИПИ
Газ одноатомный идеальный; площадь поршня S; жёсткость пружины k; начальный зазор L; начальное давление газа p_0 (равно атмосферному); поршень сдвинулся вправо на b; цилиндр горизонтальный, стенки гладкие.
Q — теплоту, переданную газу.
Воспользуемся первым законом термодинамики — это как семейный бюджет: всё тепло, что газу дали (Q), уходит на две статьи — газ «толстеет» изнутри (растёт внутренняя энергия \Delta U) и газ «толкает» поршень наружу (совершает работу A): Q=\Delta U+A.
Сначала разберёмся с давлением. Поршень держат в равновесии три силы вдоль оси: газ давит наружу (pS), атмосфера давит внутрь (p_0 S), и пружина. В самом начале давление газа равно атмосферному, значит газ и атмосфера уравновешивают друг друга, а пружине ничего держать не нужно — в начале пружина не деформирована (как ненатянутая резинка).
Поршень уехал вправо на b — пружина растянулась на b и теперь тянет поршень назад, к основанию, силой kb. Новое равновесие: газ должен пересилить и атмосферу, и натянутую пружину:
p\,S=p_0 S+kb\;\Rightarrow\;p=p_0+\frac{kb}{S}.
Работа газа. Давление растёт ровно (линейно) от p_0 до p_0+\frac{kb}{S}, объём вырос на \Delta V=Sb. Работа = средняя сила на путь, то есть площадь под графиком p(V) — трапеция со средним давлением:
A=\frac{p_0+\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)}{2}\cdot S b=p_0 S b+\frac{kb^2}{2}.
Внутренняя энергия. Для одноатомного газа U=\frac{3}{2}pV, поэтому \Delta U=\frac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}). Начало: p_1V_1=p_0\cdot S L. Конец: p_2V_2=\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)\cdot S(L+b).
\Delta U=\frac{3}{2}\left[\left(p_0+\frac{kb}{S}\right)S(L+b)-p_0 S L\right]=\frac{3}{2}\left(p_0 S b+kbL+kb^2\right).
Складываем по первому закону термодинамики:
Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\left(p_0 S b+kbL+kb^2\right)+\left(p_0 S b+\frac{kb^2}{2}\right).
Приводим подобные:
Q=\frac{5}{2}p_0 S b+\frac{3}{2}kLb+2kb^2=\frac{b\,(5p_0 S+3kL+4kb)}{2}.
Это и есть тепло, которое пришлось «вложить» газу: часть пошла на нагрев самого газа, часть — на проталкивание поршня против атмосферы и растягивание пружины.
Q=\dfrac{b\,(5p_0 S + 3kL + 4kb)}{2}
(равносильно Q=\dfrac{5}{2}p_0 S b+\dfrac{3}{2}kLb+2kb^2)