ID: 00016937
С одним молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс $1\!-\!2\!-\!3\!-\!4$, изображённый на $pV$-диаграмме в виде прямоугольника. Участок $1\!\to\!2$ — изохора (объём $V_1$, давление растёт от $p_1$ до $p_2$); $2\!\to\!3$ — изобара (давление $p_2$, объём растёт от $V_1$ до $V_2$); $3\!\to\!4$ — изохора (объём $V_2$, давление падает от $p_2$ до $p_1$); $4\!\to\!1$ — изобара (давление $p_1$, объём убывает от $V_2$ до $V_1$).
КПД теплового двигателя, работающего по данному циклу, равен $\eta = 25\,\%$. В состоянии $1$ газ находится при нормальных условиях ($p_1 = 10^5$ Па, температура $T_1 = 0\,^\circ\text{C}$). В состоянии $3$ давление $p_2 = 2p_1$, а объём $V_3 = 2V_1$. Найдите, какое количество теплоты $|Q_{\text{хол}}|$ отдал этот газ за один цикл работы двигателя.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль (одноатомный газ); $\;\eta=25\,\%=0{,}25$; $\;p_1=10^5$ Па; $\;T_1=0\,^\circ\text{C}=273$ К; $\;p_2=2p_1$; $\;V_3=2V_1$; $\;R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$
$|Q_{\text{хол}}|$ — теплоту, отданную газом за цикл.
Двигатель работает как платная переправа: сверху ему «платят» теплом $Q_{\text{гор}}$, часть он оставляет себе в виде работы $A$, остальное «отдаёт сдачей» холодильнику $Q_{\text{хол}}$. Кассовый баланс за круг: $Q_{\text{гор}}=A+|Q_{\text{хол}}|$. Значит, чтобы найти сдачу, нужны работа $A$ и КПД.
На $pV$-диаграмме цикл — это прямоугольник, и тут есть красивое правило: работа за цикл равна площади фигуры внутри цикла. У прямоугольника площадь — это «ширина на высоту»:
$$A=(p_2-p_1)(V_2-V_1).$$
Найдём стороны. По вертикали: $p_2-p_1=2p_1-p_1=p_1$. По горизонтали $V_2=V_3=2V_1$, значит $V_2-V_1=V_1$. Объём $V_1$ берём из уравнения состояния в точке $1$ (нормальные условия): $p_1V_1=\nu R T_1$, поэтому
$$A=p_1\cdot V_1=p_1\cdot\frac{\nu R T_1}{p_1}=\nu R T_1.$$
Считаем: $A=1\cdot 8{,}31\cdot 273\approx 2{,}27\cdot10^{3}$ Дж.
Теперь КПД. По определению $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{гор}}}$, откуда подведённое за цикл тепло $Q_{\text{гор}}=\dfrac{A}{\eta}$. Подставляем в кассовый баланс:
$$|Q_{\text{хол}}|=Q_{\text{гор}}-A=\frac{A}{\eta}-A=A\left(\frac{1}{\eta}-1\right)=A\cdot\frac{1-\eta}{\eta}.$$
При $\eta=0{,}25$ множитель $\dfrac{1-0{,}25}{0{,}25}=3$, поэтому
$$|Q_{\text{хол}}|=3A=3\nu R T_1=3\cdot 2{,}27\cdot10^{3}\approx 6{,}8\cdot10^{3}\ \text{Дж}=6{,}8\ \text{кДж}.$$
Итак, за один круг двигатель отдаёт холодильнику около $6{,}8$ кДж — это та самая «сдача», которую нельзя превратить в работу.
$|Q_{\text{хол}}| \approx 6{,}8$ кДж