Дано:

\nu=1 моль (одноатомный газ); \;\eta=25\,\%=0{,}25; \;p_1=10^5 Па; \;T_1=0\,^\circ\text{C}=273 К; \;p_2=2p_1; \;V_3=2V_1; \;R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}

Найти:

|Q_{\text{хол}}| — теплоту, отданную газом за цикл.

Решение:

Двигатель работает как платная переправа: сверху ему «платят» теплом Q_{\text{гор}}, часть он оставляет себе в виде работы A, остальное «отдаёт сдачей» холодильнику Q_{\text{хол}}. Кассовый баланс за круг: Q_{\text{гор}}=A+|Q_{\text{хол}}|. Значит, чтобы найти сдачу, нужны работа A и КПД.

На pV-диаграмме цикл — это прямоугольник, и тут есть красивое правило: работа за цикл равна площади фигуры внутри цикла. У прямоугольника площадь — это «ширина на высоту»:

A=(p_2-p_1)(V_2-V_1).

Найдём стороны. По вертикали: p_2-p_1=2p_1-p_1=p_1. По горизонтали V_2=V_3=2V_1, значит V_2-V_1=V_1. Объём V_1 берём из уравнения состояния в точке 1 (нормальные условия): p_1V_1=\nu R T_1, поэтому

A=p_1\cdot V_1=p_1\cdot\frac{\nu R T_1}{p_1}=\nu R T_1.

Считаем: A=1\cdot 8{,}31\cdot 273\approx 2{,}27\cdot10^{3} Дж.

Теперь КПД. По определению \eta=\dfrac{A}{Q_{\text{гор}}}, откуда подведённое за цикл тепло Q_{\text{гор}}=\dfrac{A}{\eta}. Подставляем в кассовый баланс:

|Q_{\text{хол}}|=Q_{\text{гор}}-A=\frac{A}{\eta}-A=A\left(\frac{1}{\eta}-1\right)=A\cdot\frac{1-\eta}{\eta}.

При \eta=0{,}25 множитель \dfrac{1-0{,}25}{0{,}25}=3, поэтому

|Q_{\text{хол}}|=3A=3\nu R T_1=3\cdot 2{,}27\cdot10^{3}\approx 6{,}8\cdot10^{3}\ \text{Дж}=6{,}8\ \text{кДж}.

Итак, за один круг двигатель отдаёт холодильнику около 6{,}8 кДж — это та самая «сдача», которую нельзя превратить в работу.