ID: 00016936
Тепловой двигатель использует в качестве рабочего тела $1$ моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображён на $pV$-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Изобарный участок $1\!\to\!2$ проходит при наибольшем давлении: газ изобарно расширяется (объём растёт). Затем по адиабате $2\!\to\!3$ газ расширяется с понижением давления, по изохоре $3\!\to\!4$ давление падает при постоянном объёме, и по адиабате $4\!\to\!1$ газ сжимается, возвращаясь в исходное состояние.
КПД этого цикла $\eta = 20\,\%$, а минимальная и максимальная температуры газа на изобарном участке равны $t_{\min} = 17\,^\circ\text{C}$ и $t_{\max} = 32\,^\circ\text{C}$. Определите количество теплоты, отдаваемое газом за цикл.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль (одноатомный газ); $\;\eta=20\,\%=0{,}2$; $\;t_{\min}=17\,^\circ\text{C}\Rightarrow T_{\min}=290$ К; $\;t_{\max}=32\,^\circ\text{C}\Rightarrow T_{\max}=305$ К; $\;R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$
$|Q_{\text{отд}}|$ — теплоту, отданную газом за цикл.
Двигатель — как водяное колесо: сверху воду наливают (подводят тепло), часть её крутит колесо (полезная работа), остаток сливается вниз (отдаётся холодильнику). Нам нужен этот «слив». Хитрость задачи: на двух участках цикла газ идёт по адиабате, а адиабата — это «термос», через неё тепло вообще не проходит ($Q=0$). Значит, теплообмен есть только на двух оставшихся участках — изобаре и изохоре.
Смотрим, где газ нагревается (берёт тепло), а где остывает (отдаёт). На изобаре $1\!\to\!2$ объём растёт, газ расширяется и греется — сюда тепло подводится. На изохоре $3\!\to\!4$ давление падает при постоянном объёме, газ остывает — здесь тепло отдаётся. Поэтому подведённое за цикл тепло — это всё тепло изобары.
Теплота на изобаре для одноатомного газа считается через молярную теплоёмкость при постоянном давлении $C_p=\dfrac{5}{2}R$:
$$Q_{\text{подв}}=\nu C_p\,\Delta T=\frac{5}{2}\,\nu R\,(T_{\max}-T_{\min}).$$
Подставим числа ($\Delta T = 305-290=15$ К):
$$Q_{\text{подв}}=\frac{5}{2}\cdot 1\cdot 8{,}31\cdot 15\approx 311{,}6\ \text{Дж}.$$
КПД связывает полезную работу с подведённым теплом: $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{подв}}}$. По закону сохранения энергии за цикл вся подведённая теплота уходит частью в работу, частью в холодильник: $A=Q_{\text{подв}}-|Q_{\text{отд}}|$. Отсюда отданное тепло:
$$|Q_{\text{отд}}|=Q_{\text{подв}}-A=Q_{\text{подв}}(1-\eta)=\frac{5}{2}\,\nu R\,(T_{\max}-T_{\min})\,(1-\eta).$$
$$|Q_{\text{отд}}|=311{,}6\cdot(1-0{,}2)\approx 249{,}4\ \text{Дж}.$$
Итак, за один цикл газ сбрасывает около $249$ Дж — это и есть та «слитая вниз вода», без которой колесо крутиться не может.
$|Q_{\text{отд}}| \approx 249{,}4$ Дж