ID: 00016935
В тепловом двигателе $1$ моль одноатомного разреженного газа совершает цикл $1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!1$, показанный на графике в координатах $p\!-\!T$, где $p$ — давление газа, $T$ — абсолютная температура. Участки $1\!-\!2$ и $3\!-\!4$ — прямые, проходящие через начало координат (изохоры), участки $2\!-\!3$ и $4\!-\!1$ — горизонтальные (изобары). Температуры в точках $2$ и $4$ равны и превышают температуру в точке $1$ в $2$ раза ($T_2=T_4=2T_1$). Определите КПД цикла.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль одноатомного идеального газа; цикл $1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!1$ на диаграмме $p\!-\!T$. Участки $1\!-\!2$ и $3\!-\!4$ — прямые через начало координат (изохоры), $2\!-\!3$ и $4\!-\!1$ — горизонтальные (изобары). $T_2=T_4=2T_1$.
$\eta$ — КПД цикла.
КПД теплового двигателя — это как «полезность» работника: из всего, что ему дали (полученное тепло $Q_{\text{нагр}}$), сколько он реально сделал полезного — совершил работу $A$. Формула одна: $\eta=\dfrac{A}{Q_{\text{нагр}}}$, где $Q_{\text{нагр}}$ — суммарное тепло, полученное газом на тех участках, где его грели.
Сначала разберёмся с геометрией. На диаграмме $p\!-\!T$ прямая через начало координат — это изохора (постоянный объём): ведь из $pV=\nu RT$ следует $\dfrac{p}{T}=\dfrac{\nu R}{V}=\text{const}$ только при $V=\text{const}$. Значит участки $1\!-\!2$ и $3\!-\!4$ идут при постоянном объёме, а горизонтальные $2\!-\!3$ и $4\!-\!1$ — при постоянном давлении (изобары).
Найдём температуры всех точек через $T_1$. Дано $T_2=T_4=2T_1$. На изохоре $1\!-\!2$ давление растёт вместе с температурой: $\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}\Rightarrow p_2=2p_1$. Точка $4$ лежит на изобаре с давлением $p_1$ (общая с точкой $1$), точка $3$ — на изобаре с давлением $p_2=2p_1$ (общая с точкой $2$). Точки $3$ и $4$ соединены изохорой, значит у них один объём: $\dfrac{p_2}{T_3}=\dfrac{p_1}{T_4}\Rightarrow T_3=T_4\dfrac{p_2}{p_1}=2T_1\cdot2=4T_1$.
Итак: $T_1$, $\;T_2=2T_1$, $\;T_3=4T_1$, $\;T_4=2T_1$. Для одноатомного газа $C_V=\dfrac{3}{2}\nu R$ (изохора), $C_p=\dfrac{5}{2}\nu R$ (изобара). Идём по циклу и считаем тепло на каждом участке ($Q=C\,\Delta T$):
$1\!\to\!2$ (изохора, нагрев $T_1\!\to\!2T_1$): $Q_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(2T_1-T_1)=\dfrac{3}{2}\nu R T_1\gt 0$ — тепло получают.
$2\!\to\!3$ (изобара, нагрев $2T_1\!\to\!4T_1$): $Q_{23}=\dfrac{5}{2}\nu R\,(4T_1-2T_1)=5\nu R T_1\gt 0$ — тепло получают.
$3\!\to\!4$ (изохора, охлаждение $4T_1\!\to\!2T_1$): $Q_{34}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(2T_1-4T_1)=-3\nu R T_1\lt 0$ — тепло отдают.
$4\!\to\!1$ (изобара, охлаждение $2T_1\!\to\!T_1$): $Q_{41}=\dfrac{5}{2}\nu R\,(T_1-2T_1)=-\dfrac{5}{2}\nu R T_1\lt 0$ — тепло отдают.
Газ нагревают на участках $1\!-\!2$ и $2\!-\!3$:
$$Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=\frac{3}{2}\nu R T_1+5\nu R T_1=\frac{13}{2}\nu R T_1.$$
Полезная работа за цикл равна алгебраической сумме всех теплот (внутренняя энергия за замкнутый цикл не меняется, поэтому $A=Q_{\text{нагр}}-Q_{\text{охл}}=\sum Q$):
$$A=Q_{12}+Q_{23}+Q_{34}+Q_{41}=\Big(\frac{3}{2}+5-3-\frac{5}{2}\Big)\nu R T_1=\nu R T_1.$$
Тогда КПД:
$$\eta=\frac{A}{Q_{\text{нагр}}}=\frac{\nu R T_1}{\frac{13}{2}\nu R T_1}=\frac{2}{13}\approx0{,}154.$$
То есть $\eta=\dfrac{2}{13}\approx15\%$. Из всей подведённой энергии в работу превращается только около седьмой части — остальное газ вынужден сбросить при охлаждении, как и положено любому реальному двигателю.
$\eta = \dfrac{2}{13} \approx 0{,}15 = 15\%$.