Дано:

\nu=1 моль одноатомного идеального газа; цикл 1\!-\!2\!-\!3\!-\!4\!-\!1 на диаграмме p\!-\!T. Участки 1\!-\!2 и 3\!-\!4 — прямые через начало координат (изохоры), 2\!-\!3 и 4\!-\!1 — горизонтальные (изобары). T_2=T_4=2T_1.

Найти:

\eta — КПД цикла.

Решение:

КПД теплового двигателя — это как «полезность» работника: из всего, что ему дали (полученное тепло Q_{\text{нагр}}), сколько он реально сделал полезного — совершил работу A. Формула одна: \eta=\dfrac{A}{Q_{\text{нагр}}}, где Q_{\text{нагр}} — суммарное тепло, полученное газом на тех участках, где его грели.

Сначала разберёмся с геометрией. На диаграмме p\!-\!T прямая через начало координат — это изохора (постоянный объём): ведь из pV=\nu RT следует \dfrac{p}{T}=\dfrac{\nu R}{V}=\text{const} только при V=\text{const}. Значит участки 1\!-\!2 и 3\!-\!4 идут при постоянном объёме, а горизонтальные 2\!-\!3 и 4\!-\!1 — при постоянном давлении (изобары).

Найдём температуры всех точек через T_1. Дано T_2=T_4=2T_1. На изохоре 1\!-\!2 давление растёт вместе с температурой: \dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}\Rightarrow p_2=2p_1. Точка 4 лежит на изобаре с давлением p_1 (общая с точкой 1), точка 3 — на изобаре с давлением p_2=2p_1 (общая с точкой 2). Точки 3 и 4 соединены изохорой, значит у них один объём: \dfrac{p_2}{T_3}=\dfrac{p_1}{T_4}\Rightarrow T_3=T_4\dfrac{p_2}{p_1}=2T_1\cdot2=4T_1.

Итак: T_1, \;T_2=2T_1, \;T_3=4T_1, \;T_4=2T_1. Для одноатомного газа C_V=\dfrac{3}{2}\nu R (изохора), C_p=\dfrac{5}{2}\nu R (изобара). Идём по циклу и считаем тепло на каждом участке (Q=C\,\Delta T):

1\!\to\!2 (изохора, нагрев T_1\!\to\!2T_1): Q_{12}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(2T_1-T_1)=\dfrac{3}{2}\nu R T_1\gt 0 — тепло получают.

2\!\to\!3 (изобара, нагрев 2T_1\!\to\!4T_1): Q_{23}=\dfrac{5}{2}\nu R\,(4T_1-2T_1)=5\nu R T_1\gt 0 — тепло получают.

3\!\to\!4 (изохора, охлаждение 4T_1\!\to\!2T_1): Q_{34}=\dfrac{3}{2}\nu R\,(2T_1-4T_1)=-3\nu R T_1\lt 0 — тепло отдают.

4\!\to\!1 (изобара, охлаждение 2T_1\!\to\!T_1): Q_{41}=\dfrac{5}{2}\nu R\,(T_1-2T_1)=-\dfrac{5}{2}\nu R T_1\lt 0 — тепло отдают.

Газ нагревают на участках 1\!-\!2 и 2\!-\!3:

Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=\frac{3}{2}\nu R T_1+5\nu R T_1=\frac{13}{2}\nu R T_1.

Полезная работа за цикл равна алгебраической сумме всех теплот (внутренняя энергия за замкнутый цикл не меняется, поэтому A=Q_{\text{нагр}}-Q_{\text{охл}}=\sum Q):

A=Q_{12}+Q_{23}+Q_{34}+Q_{41}=\Big(\frac{3}{2}+5-3-\frac{5}{2}\Big)\nu R T_1=\nu R T_1.

Тогда КПД:

\eta=\frac{A}{Q_{\text{нагр}}}=\frac{\nu R T_1}{\frac{13}{2}\nu R T_1}=\frac{2}{13}\approx0{,}154.

То есть \eta=\dfrac{2}{13}\approx15\%. Из всей подведённой энергии в работу превращается только около седьмой части — остальное газ вынужден сбросить при охлаждении, как и положено любому реальному двигателю.