ID: 00016934
В цепи, схема которой изображена на рисунке, ёмкости конденсаторов равны $C_1 = 100$ мкФ и $C_2 = 50$ мкФ, ключ $K$ разомкнут. Конденсаторы соединены через ключ $K$ и резистор $R$ параллельно. Вначале первый конденсатор заряжен до напряжения $U_0 = 200$ В, второй конденсатор не заряжен, а теплоёмкость резистора $R$, заключённого в лёгкую герметичную теплоизолированную капсулу, равна $C_R = 10$ Дж/К. Капсула заполнена одним молем идеального одноатомного газа, находящегося при температуре $T$ и давлении $p$, соответствующих нормальным условиям ($T = 273$ К, $p = 1{,}0\cdot10^5$ Па). На сколько изменится давление газа в капсуле после замыкания ключа и установления равновесия в данной системе?
Источник: ФИПИ
$C_1=100$ мкФ $=10^{-4}$ Ф; $\;C_2=50$ мкФ $=5\cdot10^{-5}$ Ф; $\;U_0=200$ В; $\;C_R=10$ Дж/К; $\;\nu=1$ моль (одноатомный газ); нормальные условия $T_0=273$ К, $p_0=1{,}0\cdot10^5$ Па; капсула жёсткая, герметичная, теплоизолированная.
$\Delta p$ — изменение давления газа в капсуле после замыкания ключа.
Представь два бака с водой, соединённые трубкой с узким краником-резистором. Сначала первый бак полный (заряжен), второй пустой. Открываем краник $K$ — вода перетекает, пока уровни (напряжения) не сравняются. Но вот фокус: часть «энергии воды» при перетекании через узкий краник теряется на трение и превращается в тепло. Именно это тепло выделяется на резисторе $R$ и греет всё, что внутри капсулы.
Сначала найдём, сколько тепла выделится. До замыкания вся энергия сидит на первом конденсаторе:
$$W_1=\frac{C_1U_0^2}{2}.$$
После замыкания конденсаторы оказываются соединены параллельно и делят общий заряд, пока их напряжения не станут одинаковыми. Заряд сохраняется: $q_0=C_1U_0=(C_1+C_2)U$, откуда общее напряжение $U=\dfrac{C_1U_0}{C_1+C_2}$. Энергия системы в конце:
$$W_2=\frac{(C_1+C_2)U^2}{2}=\frac{(C_1U_0)^2}{2(C_1+C_2)}.$$
Разница ушла в тепло на резисторе:
$$Q=W_1-W_2=\frac{C_1U_0^2}{2}-\frac{(C_1U_0)^2}{2(C_1+C_2)}=\frac{C_1C_2\,U_0^2}{2(C_1+C_2)}.$$
Подставим числа: $Q=\dfrac{10^{-4}\cdot5\cdot10^{-5}\cdot200^2}{2\,(10^{-4}+5\cdot10^{-5})}=\dfrac{2\cdot10^{-4}}{3\cdot10^{-4}}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}667$ Дж.
Это тепло достаётся «капсуле» — нагревает и сам резистор (его теплоёмкость $C_R$), и газ внутри. Капсула жёсткая и закрытая, значит газ греется при постоянном объёме, и его теплоёмкость $C_V=\dfrac{3}{2}\nu R$. Резистор и газ приходят к одной общей прибавке температуры $\Delta T$:
$$Q=\Big(C_R+\frac{3}{2}\nu R\Big)\Delta T\;\Rightarrow\;\Delta T=\frac{Q}{C_R+\tfrac{3}{2}\nu R}.$$
$$\Delta T=\frac{0{,}667}{10+1{,}5\cdot1\cdot8{,}31}=\frac{0{,}667}{22{,}47}\approx0{,}0297\ \text{К}.$$
Газ заперт в неизменном объёме, поэтому при нагреве работает закон Шарля: давление растёт пропорционально температуре, $\dfrac{p}{T}=\text{const}$. Значит небольшой прирост давления:
$$\Delta p=p_0\,\frac{\Delta T}{T_0}=1{,}0\cdot10^5\cdot\frac{0{,}0297}{273}\approx11\ \text{Па}.$$
Получилось около $11$ Па — крошечная добавка по сравнению с атмосферным $10^5$ Па: выделилось меньше джоуля тепла, да ещё и поделилось с массивным резистором, так что газ почти не нагрелся.
$\Delta p \approx 11$ Па (давление возрастает).