ID: 00016933
С неизменным количеством идеального одноатомного газа проводят процесс $1\!-\!2\!-\!3$. На $pV$-диаграмме процесс изображён двумя прямолинейными участками. Координаты состояний: точка $1$ — $(V_0;\ 2p_0)$, точка $2$ — $(2V_0;\ p_0)$, точка $3$ — $(3V_0;\ 2p_0)$. Каким количеством теплоты $\Delta Q_{123}$ газ обменялся с другими телами в данном процессе? Известно, что $p_0 = 10^5$ Па и $V_0 = 10$ л.
Источник: ФИПИ
$p_0=10^5$ Па; $\;V_0=10$ л $=10^{-2}$ м$^3$; одноатомный идеальный газ, количество вещества постоянно.
Состояния: $1(V_0;\,2p_0)$, $\;2(2V_0;\,p_0)$, $\;3(3V_0;\,2p_0)$.
$\Delta Q_{123}$ — теплоту, которой газ обменялся с окружением за весь процесс $1\!-\!2\!-\!3$.
Представь газ как кошелёк с энергией. В кошелёк можно положить деньги двумя путями: «подогреть» (дать теплоту $Q$) или газ сам «потолстеет», если его сожмут (над ним совершат работу). А тратит кошелёк деньги, когда газ толкает поршень и сам совершает работу $A$. Бухгалтерия этого кошелька — первый закон термодинамики: $Q=\Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение «накоплений» (внутренней энергии), $A$ — работа самого газа.
Для одноатомного газа внутренняя энергия удобно считается прямо через $p$ и $V$: $U=\dfrac{3}{2}pV$ (это та же $\dfrac{3}{2}\nu RT$, ведь $pV=\nu RT$). Значит, чтобы найти $\Delta U$, температуру знать не обязательно — достаточно перемножить давление на объём в начале и в конце.
В точке $1$: $p_1V_1=2p_0\cdot V_0=2p_0V_0$. В точке $3$: $p_3V_3=2p_0\cdot 3V_0=6p_0V_0$. Поэтому за весь процесс
$$\Delta U=\frac{3}{2}\big(p_3V_3-p_1V_1\big)=\frac{3}{2}\,(6p_0V_0-2p_0V_0)=\frac{3}{2}\cdot4p_0V_0=6\,p_0V_0.$$
Теперь работа газа $A$. На $pV$-диаграмме работа — это площадь под графиком (как площадь под ступенькой). Оба участка — прямые, под каждым получается трапеция. На участке $1\!\to\!2$ объём растёт от $V_0$ до $2V_0$, давление падает от $2p_0$ до $p_0$:
$$A_{12}=\frac{2p_0+p_0}{2}\,(2V_0-V_0)=\frac{3p_0}{2}\,V_0=1{,}5\,p_0V_0.$$
На участке $2\!\to\!3$ объём растёт от $2V_0$ до $3V_0$, давление поднимается от $p_0$ до $2p_0$:
$$A_{23}=\frac{p_0+2p_0}{2}\,(3V_0-2V_0)=\frac{3p_0}{2}\,V_0=1{,}5\,p_0V_0.$$
Газ всё время расширяется, поэтому полная работа газа положительна: $A=A_{12}+A_{23}=3\,p_0V_0$.
Складываем по первому закону:
$$\Delta Q_{123}=\Delta U+A=6\,p_0V_0+3\,p_0V_0=9\,p_0V_0.$$
Подставляем числа ($p_0V_0=10^5\cdot10^{-2}=10^3$ Дж):
$$\Delta Q_{123}=9\cdot10^3\ \text{Дж}=9\ \text{кДж}.$$
Знак плюс означает, что газ в сумме получил теплоту — это логично: он и нагрелся (вырос $pV$), и сам совершил работу, расширяясь, а на оба этих «расхода» энергию пришлось дать извне.
$\Delta Q_{123} = 9\cdot10^3$ Дж $= 9$ кДж (газ получил теплоту).