С неизменным количеством идеального одноатомного газа проводят процесс 1 минус 2 минус 3 . На pV -диаграмме процесс изображён двумя прямолинейными участками. Координаты состояний: точка 1 — левая круглая скобка V индекс 0 ; 2p индекс 0 правая круглая скобка , точка 2 — левая круглая скобка 2V индекс 0 ; p индекс 0 правая круглая скобка , точка 3 — левая круглая скобка 3V индекс 0 ; 2p индекс 0 правая круглая скобка . Каким количеством теплоты ДельтаQ индекс 123 газ обменялся с другими телами в данном процессе? Известно, что p индекс 0 равно 10 в степени 5 Па и V индекс 0 равно 10 л.

ДельтаQ индекс 123 равно 9 умножить на 10 в кубе Дж равно 9 кДж (газ получил теплоту).

Задание 24 ЕГЭ по физике: С неизменным количеством идеального одноатомного газа проводят…

№2. Задание 24

ID: 00016933

С неизменным количеством идеального одноатомного газа проводят процесс $1\!-\!2\!-\!3$ . На $pV$ -диаграмме процесс изображён двумя прямолинейными участками. Координаты состояний: точка $1$ — $(V_0;\ 2p_0)$ , точка $2$ — $(2V_0;\ p_0)$ , точка $3$ — $(3V_0;\ 2p_0)$ . Каким количеством теплоты $\Delta Q_{123}$ газ обменялся с другими телами в данном процессе? Известно, что $p_0 = 10^5$ Па и $V_0 = 10$ л.

Источник: ФИПИ

Решение

Дано:

$p_0=10^5$ Па; $\;V_0=10$ л $=10^{-2}$ м $^3$ ; одноатомный идеальный газ, количество вещества постоянно.
Состояния: $1(V_0;\,2p_0)$ , $\;2(2V_0;\,p_0)$ , $\;3(3V_0;\,2p_0)$ .

Найти:

$\Delta Q_{123}$ — теплоту, которой газ обменялся с окружением за весь процесс $1\!-\!2\!-\!3$ .

Решение:

Представь газ как кошелёк с энергией. В кошелёк можно положить деньги двумя путями: «подогреть» (дать теплоту $Q$ ) или газ сам «потолстеет», если его сожмут (над ним совершат работу). А тратит кошелёк деньги, когда газ толкает поршень и сам совершает работу $A$ . Бухгалтерия этого кошелька — первый закон термодинамики: $Q=\Delta U + A$ , где $\Delta U$ — изменение «накоплений» (внутренней энергии), $A$ — работа самого газа.

Для одноатомного газа внутренняя энергия удобно считается прямо через $p$ и $V$ : $U=\dfrac{3}{2}pV$ (это та же $\dfrac{3}{2}\nu RT$ , ведь $pV=\nu RT$ ). Значит, чтобы найти $\Delta U$ , температуру знать не обязательно — достаточно перемножить давление на объём в начале и в конце.

В точке $1$ : $p_1V_1=2p_0\cdot V_0=2p_0V_0$ . В точке $3$ : $p_3V_3=2p_0\cdot 3V_0=6p_0V_0$ . Поэтому за весь процесс

$\Delta U=\frac{3}{2}\big(p_3V_3-p_1V_1\big)=\frac{3}{2}\,(6p_0V_0-2p_0V_0)=\frac{3}{2}\cdot4p_0V_0=6\,p_0V_0.$

Теперь работа газа $A$ . На $pV$ -диаграмме работа — это площадь под графиком (как площадь под ступенькой). Оба участка — прямые, под каждым получается трапеция. На участке $1\!\to\!2$ объём растёт от $V_0$ до $2V_0$ , давление падает от $2p_0$ до $p_0$ :

$A_{12}=\frac{2p_0+p_0}{2}\,(2V_0-V_0)=\frac{3p_0}{2}\,V_0=1{,}5\,p_0V_0.$

На участке $2\!\to\!3$ объём растёт от $2V_0$ до $3V_0$ , давление поднимается от $p_0$ до $2p_0$ :

$A_{23}=\frac{p_0+2p_0}{2}\,(3V_0-2V_0)=\frac{3p_0}{2}\,V_0=1{,}5\,p_0V_0.$

Газ всё время расширяется, поэтому полная работа газа положительна: $A=A_{12}+A_{23}=3\,p_0V_0$ .

Складываем по первому закону:

$\Delta Q_{123}=\Delta U+A=6\,p_0V_0+3\,p_0V_0=9\,p_0V_0.$

Подставляем числа ( $p_0V_0=10^5\cdot10^{-2}=10^3$ Дж):

$\Delta Q_{123}=9\cdot10^3\ \text{Дж}=9\ \text{кДж}.$

Знак плюс означает, что газ в сумме получил теплоту — это логично: он и нагрелся (вырос $pV$ ), и сам совершил работу, расширяясь, а на оба этих «расхода» энергию пришлось дать извне.

Ответ

$\Delta Q_{123} = 9\cdot10^3$ Дж $= 9$ кДж (газ получил теплоту).