Дано:

\nu=1 моль; одноатомный газ; цикл: изобара 1\!-\!2, адиабата 2\!-\!3, изохора 3\!-\!4, адиабата 4\!-\!1; \;\left|\dfrac{\Delta T_{12}}{\Delta T_{34}}\right|=1{,}2

Найти:

\eta — КПД цикла

Решение:

КПД двигателя — это как зарплата на руки. Газу за цикл «начисляют» тепло (нагреватель), часть идёт в дело — на полезную работу, а часть «удерживают налогом» — газ обязан сбросить её холодильнику. КПД показывает, какая доля начисленного дошла до полезной работы: \;\eta=\dfrac{A_{\text{полезн}}}{Q_{\text{получ}}}=\dfrac{Q_{\text{получ}}-|Q_{\text{отд}}|}{Q_{\text{получ}}}.

Ключ к задаче — понять, где тепло входит, а где выходит. На адиабатах теплообмена нет вовсе (Q=0, это и есть определение адиабаты). Значит, тепло проходит только через два участка: изобару 1\!-\!2 и изохору 3\!-\!4.

На изобаре 1\!-\!2 газ расширяется и нагревается (\Delta T_{12}\gt 0), значит здесь тепло получают. Для изобарного процесса \;Q_{12}=\nu C_p\,\Delta T_{12}, где для одноатомного газа C_p=\tfrac{5}{2}R.

На изохоре 3\!-\!4 газ охлаждается (\Delta T_{34}\lt 0), значит здесь тепло отдают. Для изохорного процесса \;Q_{34}=\nu C_V\,\Delta T_{34}, где C_V=\tfrac{3}{2}R.

Подставим в формулу КПД (полученное Q_{\text{получ}}=Q_{12}, отданное по модулю |Q_{\text{отд}}|=|Q_{34}|=\nu C_V|\Delta T_{34}|):

\eta=1-\dfrac{|Q_{34}|}{Q_{12}}=1-\dfrac{\nu C_V\,|\Delta T_{34}|}{\nu C_p\,\Delta T_{12}}=1-\dfrac{C_V}{C_p}\cdot\dfrac{|\Delta T_{34}|}{\Delta T_{12}}.

Отношение теплоёмкостей \dfrac{C_V}{C_p}=\dfrac{3/2}{5/2}=\dfrac{3}{5}, а по условию \dfrac{\Delta T_{12}}{|\Delta T_{34}|}=1{,}2, то есть \dfrac{|\Delta T_{34}|}{\Delta T_{12}}=\dfrac{1}{1{,}2}=\dfrac{5}{6}. Тогда:

\eta=1-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{6}=1-\dfrac{1}{2}=0{,}5.

Получаем \eta=0{,}5=50\%. Половину начисленного тепла двигатель превращает в работу, вторую половину «отдаёт налогом» холодильнику — крепкий результат для такого цикла.