ID: 00016931
Тепловой двигатель использует в качестве рабочего вещества $1$ моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображён на $pV$-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры и изобары. Цикл образован: изобарным расширением $1\!-\!2$ (верхняя горизонтальная линия при постоянном давлении), адиабатным расширением $2\!-\!3$, изохорным охлаждением $3\!-\!4$ (вертикальный участок при постоянном объёме) и адиабатным сжатием $4\!-\!1$. Модуль отношения изменения температуры газа при изобарном процессе $\Delta T_{12}$ к изменению его температуры $\Delta T_{34}$ при изохорном процессе равен $1{,}2$. Определите КПД цикла.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; одноатомный газ; цикл: изобара $1\!-\!2$, адиабата $2\!-\!3$, изохора $3\!-\!4$, адиабата $4\!-\!1$; $\;\left|\dfrac{\Delta T_{12}}{\Delta T_{34}}\right|=1{,}2$
$\eta$ — КПД цикла
КПД двигателя — это как зарплата на руки. Газу за цикл «начисляют» тепло (нагреватель), часть идёт в дело — на полезную работу, а часть «удерживают налогом» — газ обязан сбросить её холодильнику. КПД показывает, какая доля начисленного дошла до полезной работы: $\;\eta=\dfrac{A_{\text{полезн}}}{Q_{\text{получ}}}=\dfrac{Q_{\text{получ}}-|Q_{\text{отд}}|}{Q_{\text{получ}}}.$
Ключ к задаче — понять, где тепло входит, а где выходит. На адиабатах теплообмена нет вовсе ($Q=0$, это и есть определение адиабаты). Значит, тепло проходит только через два участка: изобару $1\!-\!2$ и изохору $3\!-\!4$.
На изобаре $1\!-\!2$ газ расширяется и нагревается ($\Delta T_{12}\gt 0$), значит здесь тепло получают. Для изобарного процесса $\;Q_{12}=\nu C_p\,\Delta T_{12}$, где для одноатомного газа $C_p=\tfrac{5}{2}R$.
На изохоре $3\!-\!4$ газ охлаждается ($\Delta T_{34}\lt 0$), значит здесь тепло отдают. Для изохорного процесса $\;Q_{34}=\nu C_V\,\Delta T_{34}$, где $C_V=\tfrac{3}{2}R$.
Подставим в формулу КПД (полученное $Q_{\text{получ}}=Q_{12}$, отданное по модулю $|Q_{\text{отд}}|=|Q_{34}|=\nu C_V|\Delta T_{34}|$):
$\eta=1-\dfrac{|Q_{34}|}{Q_{12}}=1-\dfrac{\nu C_V\,|\Delta T_{34}|}{\nu C_p\,\Delta T_{12}}=1-\dfrac{C_V}{C_p}\cdot\dfrac{|\Delta T_{34}|}{\Delta T_{12}}.$
Отношение теплоёмкостей $\dfrac{C_V}{C_p}=\dfrac{3/2}{5/2}=\dfrac{3}{5}$, а по условию $\dfrac{\Delta T_{12}}{|\Delta T_{34}|}=1{,}2$, то есть $\dfrac{|\Delta T_{34}|}{\Delta T_{12}}=\dfrac{1}{1{,}2}=\dfrac{5}{6}$. Тогда:
$\eta=1-\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{6}=1-\dfrac{1}{2}=0{,}5.$
Получаем $\eta=0{,}5=50\%$. Половину начисленного тепла двигатель превращает в работу, вторую половину «отдаёт налогом» холодильнику — крепкий результат для такого цикла.
$\eta = 50\%$