Дано:

\nu=1 моль; одноатомный газ; V_1=10 л =0{,}01 м³; \;V_2=41{,}6 л =0{,}0416 м³; \;p_1=4{,}15\cdot10^5 Па; \;T_2=500 К; \;R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}

Найти:

\Delta Q — суммарное (итоговое) количество теплоты за весь процесс 1\to2

Решение:

Представь, что газ — это кошелёк. Тепло Q — это деньги, которые в него кладут или из него забирают. Часть денег газ тратит на работу (раздвигает поршень), часть — на «внутренние накопления» (нагрев, то есть внутреннюю энергию). Закон сохранения здесь — это первый закон термодинамики: сколько тепла вошло, столько и разошлось на эти две статьи: \;Q=\Delta U + A, где \Delta U — изменение внутренней энергии, A — работа газа.

Сначала найдём температуру в точке 1 из уравнения Менделеева — Клапейрона pV=\nu RT:

T_1=\dfrac{p_1 V_1}{\nu R}=\dfrac{4{,}15\cdot10^5\cdot0{,}01}{1\cdot8{,}31}\approx 499{,}4 К.

Оказалось, что T_1\approx T_2\approx 500 К — начало и конец почти при одной температуре. Значит, внутренняя энергия одноатомного газа U=\tfrac{3}{2}\nu R T практически не изменилась: \;\Delta U=\tfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)\approx 0 (всего около 8 Дж — на фоне тысяч джоулей это пыль). Поэтому всё подведённое тепло ушло в работу: \;\Delta Q\approx A.

Работа газа — это площадь под графиком процесса на pV-диаграмме. График — прямая из точки (V_1,p_1) в (V_2,p_2), под ней — трапеция. Площадь трапеции равна полусумме оснований (p_1 и p_2) на высоту (V_2-V_1):

A=\dfrac{p_1+p_2}{2}\,(V_2-V_1).

Давление p_2 найдём из конечного состояния: \;p_2=\dfrac{\nu R T_2}{V_2}=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot500}{0{,}0416}\approx 9{,}99\cdot10^4 Па \approx10^5 Па.

Подставляем числа:

A=\dfrac{4{,}15\cdot10^5+10^5}{2}\cdot(0{,}0416-0{,}01)=\dfrac{5{,}15\cdot10^5}{2}\cdot0{,}0316\approx 8{,}14\cdot10^{3}\ \text{Дж}.

Значит, суммарное количество теплоты, прошедшее через газ за весь процесс, \Delta Q=\Delta U+A\approx 0+8140=8140 Дж. Кошелёк в итоге почти не «потолстел» по теплу (температура та же), но через него прошло около 8{,}14 кДж — всё это газ отдал в работу при расширении.