ID: 00016930
Найдите суммарное количество теплоты $\Delta Q$, полученное и отданное одним молем идеального одноатомного газа при его переводе из состояния 1 в состояние 2 при помощи процесса, который изображается на $pV$-диаграмме прямой линией. На диаграмме процесс идёт по прямой из состояния 1 (бо́льшее давление $p_1$, меньший объём $V_1$) в состояние 2 (меньшее давление $p_2$, бо́льший объём $V_2$). Известны следующие параметры начального и конечного состояний газа: $V_1 = 10$ л, $V_2 = 41{,}6$ л, $p_1 = 4{,}15\cdot 10^5$ Па, $T_2 = 500$ К.
Источник: ФИПИ
$\nu=1$ моль; одноатомный газ; $V_1=10$ л $=0{,}01$ м³; $\;V_2=41{,}6$ л $=0{,}0416$ м³; $\;p_1=4{,}15\cdot10^5$ Па; $\;T_2=500$ К; $\;R=8{,}31\ \tfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$
$\Delta Q$ — суммарное (итоговое) количество теплоты за весь процесс $1\to2$
Представь, что газ — это кошелёк. Тепло $Q$ — это деньги, которые в него кладут или из него забирают. Часть денег газ тратит на работу (раздвигает поршень), часть — на «внутренние накопления» (нагрев, то есть внутреннюю энергию). Закон сохранения здесь — это первый закон термодинамики: сколько тепла вошло, столько и разошлось на эти две статьи: $\;Q=\Delta U + A$, где $\Delta U$ — изменение внутренней энергии, $A$ — работа газа.
Сначала найдём температуру в точке 1 из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$:
$T_1=\dfrac{p_1 V_1}{\nu R}=\dfrac{4{,}15\cdot10^5\cdot0{,}01}{1\cdot8{,}31}\approx 499{,}4$ К.
Оказалось, что $T_1\approx T_2\approx 500$ К — начало и конец почти при одной температуре. Значит, внутренняя энергия одноатомного газа $U=\tfrac{3}{2}\nu R T$ практически не изменилась: $\;\Delta U=\tfrac{3}{2}\nu R\,(T_2-T_1)\approx 0$ (всего около $8$ Дж — на фоне тысяч джоулей это пыль). Поэтому всё подведённое тепло ушло в работу: $\;\Delta Q\approx A$.
Работа газа — это площадь под графиком процесса на $pV$-диаграмме. График — прямая из точки $(V_1,p_1)$ в $(V_2,p_2)$, под ней — трапеция. Площадь трапеции равна полусумме оснований ($p_1$ и $p_2$) на высоту ($V_2-V_1$):
$A=\dfrac{p_1+p_2}{2}\,(V_2-V_1).$
Давление $p_2$ найдём из конечного состояния: $\;p_2=\dfrac{\nu R T_2}{V_2}=\dfrac{1\cdot8{,}31\cdot500}{0{,}0416}\approx 9{,}99\cdot10^4$ Па $\approx10^5$ Па.
Подставляем числа:
$A=\dfrac{4{,}15\cdot10^5+10^5}{2}\cdot(0{,}0416-0{,}01)=\dfrac{5{,}15\cdot10^5}{2}\cdot0{,}0316\approx 8{,}14\cdot10^{3}\ \text{Дж}.$
Значит, суммарное количество теплоты, прошедшее через газ за весь процесс, $\Delta Q=\Delta U+A\approx 0+8140=8140$ Дж. Кошелёк в итоге почти не «потолстел» по теплу (температура та же), но через него прошло около $8{,}14$ кДж — всё это газ отдал в работу при расширении.
$\Delta Q \approx 8{,}14\cdot 10^{3}$ Дж $\approx 8140$ Дж