МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00016923

Дано:

$\ell=1$ см $=0{,}01$ м; $\;\omega_1=10\ \text{с}^{-1}$; $\;\omega_2=4\omega_1=40\ \text{с}^{-1}$; $\;T_1=0\,^\circ\text{C}=273$ К; $\;R=20$ см $=0{,}2$ м; $\;p_0=10^5$ Па; $\;\rho_\text{рт}=13600\ \text{кг/м}^3$; закрытый конец — дальше от оси, воздух заперт между ним и ртутью.

Найти:

$\dfrac{T_2}{T_1}$ — во сколько раз увеличить температуру воздуха, чтобы ртуть осталась на месте.

Решение:

Вращающаяся пробирка — это как карусель: всё в ней «стремится наружу» (центробежный эффект). Ртутный столбик при вращении прижимается к дальнему, закрытому концу и поджимает запертый там воздух — словно невидимая рука дополнительно давит на газ. Чем быстрее крутим, тем сильнее давит. «Ртуть не сдвинулась» значит длина воздушного столбика та же $\Rightarrow$ объём воздуха постоянен $\Rightarrow$ процесс изохорный, и тогда давление газа меняется вместе с температурой: $\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{T_2}{T_1}$.

Найдём давление воздуха. Чтобы ртуть покоилась во вращающейся системе, газ должен давить на неё наружу, уравновешивая атмосферу снаружи и центробежную «добавку». Центробежная сила на весь столбик ртути $F=m\omega^2 R$, где масса $m=\rho_\text{рт}S\ell$ ($S$ — сечение). Поделив на площадь, получаем добавку к давлению:

$\Delta p=\dfrac{F}{S}=\rho_\text{рт}\,\omega^2 R\,\ell.$

Так как закрытый конец дальше от оси, ртуть «летит» к газу и поджимает его, поэтому давление воздуха больше атмосферного на эту добавку:

$p=p_0+\rho_\text{рт}\,\omega^2 R\,\ell.$

Посчитаем добавку для двух скоростей (общий множитель $\rho_\text{рт}R\ell=13600\cdot0{,}2\cdot0{,}01=27{,}2$):

$\Delta p_1=27{,}2\cdot\omega_1^2=27{,}2\cdot100=2720\ \text{Па},\qquad \Delta p_2=27{,}2\cdot\omega_2^2=27{,}2\cdot1600=43520\ \text{Па}.$

Тогда давления воздуха:

$p_1=10^5+2720=1{,}0272\cdot10^5\ \text{Па},\qquad p_2=10^5+43520=1{,}4352\cdot10^5\ \text{Па}.$

Объём не меняется, поэтому отношение температур равно отношению давлений:

$\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{1{,}4352\cdot10^5}{1{,}0272\cdot10^5}\approx1{,}4.$

Итог: чтобы при разгоне в 4 раза ртуть осталась на месте, воздух надо нагреть примерно в $1{,}4$ раза (по абсолютной температуре). Логично: быстрее крутим — сильнее центробежный «нажим», и газ должен подрасти в давлении, а при постоянном объёме это возможно только через нагрев.