Дано:

\ell=1 см =0{,}01 м; \;\omega_1=10\ \text{с}^{-1}; \;\omega_2=4\omega_1=40\ \text{с}^{-1}; \;T_1=0\,^\circ\text{C}=273 К; \;R=20 см =0{,}2 м; \;p_0=10^5 Па; \;\rho_\text{рт}=13600\ \text{кг/м}^3; закрытый конец — дальше от оси, воздух заперт между ним и ртутью.

Найти:

\dfrac{T_2}{T_1} — во сколько раз увеличить температуру воздуха, чтобы ртуть осталась на месте.

Решение:

Вращающаяся пробирка — это как карусель: всё в ней «стремится наружу» (центробежный эффект). Ртутный столбик при вращении прижимается к дальнему, закрытому концу и поджимает запертый там воздух — словно невидимая рука дополнительно давит на газ. Чем быстрее крутим, тем сильнее давит. «Ртуть не сдвинулась» значит длина воздушного столбика та же \Rightarrow объём воздуха постоянен \Rightarrow процесс изохорный, и тогда давление газа меняется вместе с температурой: \dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{T_2}{T_1}.

Найдём давление воздуха. Чтобы ртуть покоилась во вращающейся системе, газ должен давить на неё наружу, уравновешивая атмосферу снаружи и центробежную «добавку». Центробежная сила на весь столбик ртути F=m\omega^2 R, где масса m=\rho_\text{рт}S\ell (S — сечение). Поделив на площадь, получаем добавку к давлению:

\Delta p=\dfrac{F}{S}=\rho_\text{рт}\,\omega^2 R\,\ell.

Так как закрытый конец дальше от оси, ртуть «летит» к газу и поджимает его, поэтому давление воздуха больше атмосферного на эту добавку:

p=p_0+\rho_\text{рт}\,\omega^2 R\,\ell.

Посчитаем добавку для двух скоростей (общий множитель \rho_\text{рт}R\ell=13600\cdot0{,}2\cdot0{,}01=27{,}2):

\Delta p_1=27{,}2\cdot\omega_1^2=27{,}2\cdot100=2720\ \text{Па},\qquad \Delta p_2=27{,}2\cdot\omega_2^2=27{,}2\cdot1600=43520\ \text{Па}.

Тогда давления воздуха:

p_1=10^5+2720=1{,}0272\cdot10^5\ \text{Па},\qquad p_2=10^5+43520=1{,}4352\cdot10^5\ \text{Па}.

Объём не меняется, поэтому отношение температур равно отношению давлений:

\dfrac{T_2}{T_1}=\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{1{,}4352\cdot10^5}{1{,}0272\cdot10^5}\approx1{,}4.

Итог: чтобы при разгоне в 4 раза ртуть осталась на месте, воздух надо нагреть примерно в 1{,}4 раза (по абсолютной температуре). Логично: быстрее крутим — сильнее центробежный «нажим», и газ должен подрасти в давлении, а при постоянном объёме это возможно только через нагрев.